Египетская нумерация. Что такое египетская система счисления? История, описание, примеры

28.09.2019

Что такое позиционная и непозиционная системы счислений?

Ответ таится в самом названии. Если позиция цифры влияет на результат вычислений, перед нами позиционная система чисел, если нет - непозиционная.

Если мы пишем 12 - это двенадцать, а с теми же цифрами 21 - это двадцать один. По египетской системе счисления: чтобы написать 12, понадобится использовать два раза символ единицы и один раз символ десятки, а 21 будет выглядеть как один знак единицы и два знака десятки, то есть всего надо написать три знака.

К непозиционным относятся: знакомая нам римская система, в которой цифры обозначались римскими буквами, славянская система, где также каждая буква обозначала какую-то цифру или число. Римская система справлялась со своими функциями в Западной Европе до 16 века.

Используемая нами система счисления в современной жизни - позиционная десятичная система.

Непозиционные системы хорошо подходили для выполнения простых арифметических действий, так как сложные вычисления предполагали громоздкие записи, что не мешало в Древнем Египте успешному развитию алгебры и геометрии.

Как считали египтяне?

Что это такое - египетская система счисления? Чтобы написать какое-либо число, использовали иероглифы, обозначавшие определенные числа, сумма которых равнялась нужному значению.

Специальные обозначения имелись для чисел 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. При написании нужного числа каждое обозначение использовалось до 9 раз. Запись в египетской системе счисления шла по возрастанию: вначале единицы, потом десятки, сотни и так далее.

Причем писали, как правило, справа налево, но можно было и слева направо, сумма от этого не менялась. Использовалось и вертикальное написание, но тогда отсчет шел сверху вниз.

Использовалось два способа написания:

Иероглифический, в котором употреблялись принятые иероглифы.
Иератический, который являлся более схематичным и удобным на практике.

Экскурс в историю

История египетской системы счисления возникла в глубокой древности, первые рукописи с цифрами относятся ко второму тысячелетию до нашей эры. Денег тогда не было, поэтому система использовалась как для невероятных по сложности и величию математических задач, так и для решения ежедневных бытовых вопросов.

Ведь знание математики использовалось и при межевании земель, и при построении календарей, карт в астрономии, мореплавании, при строительстве дворцов, каналов и военных укреплений.

Египетская непозиционная система счисления применялась до 10 века нашей эры.

Она имела и мистическое значение, тайну которого унесли с собой жрецы, но частично приоткрыл миру Пифагор. У него есть труды, в которых он описывает символические значения, которые придаются цифровым иероглифам, написанные им после пребывания в Египте. Поэтому относят их описание к египетской системе счисления.

Сохранилось всего несколько папирусов тех времен, по которым можно понять, что уровень математики был высокий. Достоверно известно, что греки изучали древнеегипетскую математику. Одним из сокровенных знаний является египетская непозиционная система счисления.

Папирус Ахмеса

Папирус Ахмеса датируется 1650 г. до н.э., содержит 84 математические задачи. Он был найден в Фивах, хранится в Британском музее.

Все задачи в папирусе рассмотрены на конкретных примерах египетской системы счисления. В них показываются примеры расчетов с дробями, с целыми числами, делением и умножением.

Даны расчеты для нахождения площадей геометрических фигур: четырехугольника, круга, треугольника.

Сведения из папируса доказывают, что египетские математики умели извлекать корень, составлять арифметическую и геометрическую прогрессию, уравнения с неизвестными.

Аликвотные дроби

Интересно, что в расчетах использовались только аликвотные дроби, в которых числитель равнялся единице и обозначался таким знаком, а под ним писались значения знаменателя, а все другие дроби для расчетов вначале нужно было разложить до аликвотных. Но использовались и имели специальное обозначение дроби 2/3 и 3/4.

Для приведения обычных дробей в состояние аликвотных по египетской системе счисления нужно было потрудиться:

4/5 = 16/20 = 10/20 + 5/20 + 1/20 = 1/2+1/4 + 1/20

2/5 = 1/5 + 1/5, 2/7 = 1/4 + 1/28

3/7 = 12/28 = 24/56 = 14/56+7/56+3/56 = 1/4+1/8+1/18+1/56.

Складывались дроби современным способом: приведением к общему знаменателю, для многих значений имелись многочисленные готовые таблицы.

Умножение

Египтяне узнавали нужный результат, не зная таблицы умножения, но используя знание о том, что, если один множитель увеличить в два раза, а другой уменьшить, то результат не изменится:

32*13=16*26=8*52=4*104=2*208=1*416

Интересно, что этот способ умножения был известен на Руси, и считалось, что он пришел из Древнего Египта, а в Европе его называли русским.

Папирус Голенищева

Благодаря стараниям ученого-египтолога В. С. Голенищева, в Москве хранится папирус еще на 200 лет древнее папируса писца Ахмеса. Ученый купил его во время своей работы в Фивах.

Он был написан иератическим способом, курсивом, в нем рассматривается 25 задач, дано их описание по египетской системе счисления и решение. Его длина более 5 м при ширине 7 см. К этим задачам нет никаких комментариев, как и в предыдущем папирусе, есть только математические расчеты.

Он показывает, что египтяне умели вычислять площади треугольника, трапеции, прямоугольника, круга, а также объёмы пирамиды, призмы, параллелепипеда, цилиндра и усечённой пирамиды с большой точностью, а многие формулы полностью совпадают с современными.

При египетской системе счисления было вычислено число «пи» 3,16, которое почти соответствовало современному значению 3,14, хотя в те времена повсеместно на Востоке использовалось значение, равное 3.

Все вещи - суть числа

Считается, Пифагор прожил в Египте 22 года, глубоко изучая геометрию, философию, мистику цифр. Те открытия, которые позднее делала Пифагорейская школа, вполне могли быть совершены еще в Древнем Египте.

Поэтому считается, что труды Пифагора о мистике цифр, которые он написал позже, основаны на тайных знаниях, полученных им от египетских жрецов. Они не брали на обучение иностранцев, попал он к ним по высокой протекции, после собеседования с главным жрецом, который счел его достойным быть посвященным в тайны.

Числа были живыми сущностями, отражающими свойства пространства, музыки, энергии. Все можно выразить через математику, описав формулами видимые явления предсказать невидимые, опираясь на логику и математические закономерности.

Высота, ширина основания, угол наклона пирамиды Хеопса в Египте соответствуют математическому правилу построения пирамиды Пифагора, что также подтверждает взаимосвязь сделанных им открытий и знаний, полученных от древнеегипетских жрецов, использовавших египетскую систему счисления.

Работая с цифрами, древние мыслители не только понимали суть вещей, но и могли воздействовать на них.

Изучая математику Древнего Египта, использующую египетскую систему счисления, можно только восхищаться тем, как много было открыто людям за тысячи лет до нашей эры.

Мало кто задумывается о том, что приемы и формулы, которые мы используем для вычисления простых или сложных чисел, формировались на протяжении многих веков, причем в различных уголках планеты. Современные математические навыки, с которыми знаком даже первоклассник, ранее были непосильными для умнейших людей. Огромный вклад в развитие этой отрасли внесла египетская некоторые элементы которой мы до сих пор используем в первозданном виде.

Краткое определение

Историкам достоверное известно, что в любой древней цивилизации главным образом развивалась письменность, а числовые значения всегда стояли на втором месте. По этой причине в математике былых тысячелетий множество неточностей, и современные эксперты порой ломают голову в подобных ребусах. Не была исключением и египетская система счисления, которая, к слову, являлась еще и непозиционной. Это означает, что положение отдельной цифры в записи числа не меняет общую величину. В качестве примера можно рассмотреть значение 15, где 1 - на первом месте, а 5 - на втором. Если мы поменяем эти цифры местами, получим гораздо большее число. А вот древнеегипетская система счисления таких перемен не предполагала. Даже в самом многозначном числе все его составляющие записывались в произвольном порядке.

Сразу отметим, что современные жители этой жаркой страны пользуются такими же арабскими цифрами, как и мы, записывая их в строгом соответствии с нужным порядком и слева направо.

Какими же были знаки?

Для записи цифр египтяне использовали иероглифы, и при этом их было не так уж и много. Дублируя их по определенному правилу, можно было получить число любой величины, правда, для этого потребовалось бы большое количество папируса. На начальном этапе существования египетская иероглифическая система счисления содержала в себе цифры 1, 10, 100, 1000 и 10000. Позже появились более значимые 10. Если нужно было записать один из вышеперечисленных показателей, использовали такие иероглифы:

Чтобы записать число, не кратное десятке, применялась данная нехитрая техника:

Расшифровка чисел

В результате примера, приведенного выше, мы видим, что на первом месте у нас обозначены 6 сотен, за ними следует два десятка и в конце две единицы. Аналогично записываются любые другие числа, для которых могут быть использованы тысячи и десятки тысяч. Однако этот пример записан слева направо, дабы современный читатель смог правильно его понять, только вот на деле египетская система счисления не являлась столь точной. Такое же значение можно было бы записать справа налево, разобраться в том, где начало, а где конец, приходилось, опираясь на рисунок с наибольшим значением. Аналогичный ориентир потребуется и в том случае, если цифры в записаны вразброс (так как система непозиционная).

Дроби также важны

Египтяне раньше многих других освоили математику. По данной причине в какой-то момент одних только цифр им стало мало, и постепенно были введены дроби. Так как древнеегипетская система счисления считается иероглифической, для записи числителей и знаменателей также использовались символы. Для ½ существовал специальный и неизменный знак, а все остальные показатели формировались таким же путем, который использовался для больших чисел. В числителе всегда фигурировал символ, имитирующий форму человеческого глаза, а в знаменателе указывали уже число.

Математические операции

Если есть цифры, их складывают и вычитают, умножают и делят. Египетская система счисления справлялась с такой задачей на отлично, хотя тут была своя специфика. Проще всего производилось складывание и вычитание. Для этого иероглифы двух чисел записывались в ряд, между ними учитывалась смена разрядов. Сложнее понять, как они умножали, так как процесс этот мало похож на современный. Составляли два столбца, один из них начинался с единицы, а другой - со второго множителя. Потом начинали удваивать каждое из этих чисел, записывая новый результат под предыдущим. Когда из отдельных чисел первого столбца удавалось собрать недостающий множитель, подводились итоги. Точнее понять этот процесс можно, взглянув на таблицу. В данном случае 7 умножаем на 22:

Результат в первой колонке 8 уже превышает 7, поэтому удваивание заканчивается на 4. 1+2+4=7, а 22+44+88=154. Этот ответ верный, хотя получен столь нестандартным для нас путем.

Вычитание и деление производились в обратном сложению и умножению порядке.

Почему сформировалась египетская система счисления?

История возникновения иероглифов, заменяющих числа, так же туманна, как возникновение всей Египетской цивилизации. Ее рождение датируется второй половиной третьего тысячелетия до нашей эры. Принято полагать, что подобная точность в те времена была вынужденной мерой. Египет уже был полноценным государством и с каждым годом становился мощнее и обширнее. Проводилось строительство храмов, велись учеты в главных органах управления, и дабы объединить все это, власти приняли решение ввести данную систему счета. Просуществовала она достаточно долго - вплоть до Х века нашей эры, после чего на смену ей пришла иератика.

Египетская система счисления: достоинства и недостатки

Главное достижение древних египтян в математике - это простота и точность. Глядя на иероглиф, всегда можно было определить, сколько десятков, сотен или тысяч записано на папирусе. Достоинством считалась также система сложения и умножения чисел. Только на первый взгляд она кажется запутанной, но вникнув в суть, вы начнете быстро и просто решать такие задачки. Недостатком была признана большая путаница. Числа могли записываться не только в любом направлении, но и беспорядочно, поэтому требовалось больше времени на их расшифровку. И последний минус, пожалуй, заключается в невероятно длинной шеренге из символов, ведь их постоянно приходилось дублировать.

Мало кто задумывается, что те приемы, которые мы используем для письма и счета формировались на протяжении многих тысяч лет. Нам они кажутся очевидными, ну, подумаешь, умножить в столбик, перенести все члены с неизвестным на одну сторону. Ведь это так просто! На самом деле это огромные интеллектуальные завоевания человечества, которые часто были недоступны умнейшим людям прошлого. Я собираюсь (если хватит терпения и времени) написать несколько заметок о том, как считали в прошлом. В этой я расскажу про то, как считали египтяне.

Меня всегда немного интересовал древний Египет. Ну, во-первых, Египет - одно из первых государств, о котором мы много знаем, и кроме того, это очень великое государство, которое оставило огромное наследие. Я не имею в виду огромные размеры пирамид. Даже наша письменность и латинская, и кириллическая восходит к древнему Египту. Мне также всегда нравилась египетская скульптура, и мода брить голову у женщин и мужчин. Это кажется очень современным. Но это статья не о художественной культуре. Так что приступим.

Цифры и числа

Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой счисления. Выглядели цифры примерно так:

Эти цифры относятся к т.н. иероглифическому письму, которое позже было заменено иератическим. Я очень люблю иератическое письмо. Оно выглядит весьма стильно. Но здесь я буду использовать иероглифическое начертание.
Все целые числ образовывались путем повторения знаков, приведенных выше (и некоторых других для еще более высоких разрядов). Например, 3215 будет:

Очень ясная система, хотя не слишком лаконичная. Ее просто освоить, но числа получаются не слишком удобными. С первого взгляда трудно уловить точное значение числа. Писали египтяне в разных направлениях, но я здесь пишу как привычно нам слева на право.
Теперь насчет дробей. Для трех дробей существовали специальные значки:

Все остальные дроби, у которых в числителе была единица, обозначались знаменателем и похожим на глаз значком сверху. Например, ниже я написал 1/14

Все правильные дроби записывались как сумма таких дробей. Например:

На одном сайте я прочитал, что «в некоторых случаях» египетские дроби «лучше наших». И даже в английской вики, есть такой чудный пример: «Египетские дроби иногда легче позволяют сравнить размер дробей. Например, если некто хочет знать, больше ли 4/5, чем ¾ он может превратить их в египетские дроби:
4/5= 1/2 + 1/4+ 1/20
3/4= 1/2 +1/4»
Мне этот «легкий способ» напоминает шутку про Фейнмана, который ради какой-то задачи школьного курса просуммировал ряды в уме. Я гуманитарий и особо не умею считать, но сравнивать в уме обычные дроби в их нормальной записи мне кажется гораздо проще, чем переводить их в египетский вид. Возможно, для египтян сравнения такого рода и были более удобны, так как наших дробей они не знали.

Сложение и умножение

Ну, вот мы и переходим к главному. Как египтяне считали? Сложение и вычитание целых чисел у них происходило также как и у нас, а может быть даже проще, им ведь просто нужно было объединить иероглифы и учесть смену разрядов. А как обстоит дело с умножением и делением? В древнеегипетском мире это была вовсе не тривиальная задача.
Египтяне использовали такой алгоритм для умножения. В два столбца писались числа. Первый столбец начинался с единицы, а второй с множимого. Затем каждое число в столбце удваивалось до тех пор, пока из некоторых чисел первого столбца не удастся сложить множитель. Вы поняли? На примере понятно лучше. Например, 7 на 22

1+4+8=13 и 57+228+456=741
Иногда, чтобы ускорить процесс прибегали к умножению на 10.
Может возникнуть вопрос, всегда ли можно представить множитель в таком виде? Да, на самом деле мы фактически имеем дело с двоичной системой счисления: 1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +1*2 3 т.е. 1+100+ 1000=1101
Деление выполнялось при помощи схожего алгоритма. Разделим 238 на 17:
Опять составляем табличку с одной стороны, которой стоит 17 с другой единица. Процесс удвоения останавливается на числе, которое при удвоении будет больше делимого.

Здесь мы останавливемся, ведь 128 на 2 = 256, а это больше 213. 128+64<213. 128+64+32 уже опять больше. Не подходит. 128+64+16<213 Пока все ОК. 128+64+16+8 уже больше. Значит мы смогли набрать только 208=128+64+16 из 213. И нам осталось разделить 213-208=5
Мы делим делитель по полам, используя уже привычную таблицу. К счастью 5 это 1+4.

1/2*	4
1/4	2
1/8*	1

Таким образом, окончательный результат будет
213/8 = 2+8+16+1/2+1/8 =26+1/2+1/8
Сейчас мы имеем удачный случай, но так получается не всегда. Официальный язык современного Египта - так называемый "высокий" арабский.

Арабское письмо, включая диалектное, пишется и читается справа налево. Заглавных букв нет нигде - даже в именах собственных и географических названиях. Но будьте осторожны: цифры пишутся и читаются слева направо. Если хотите разобраться в монетах и ценах, лучше выучите арабские числа, а не то, что мы привыкли называть арабскими цифрами.

При более детальном изучении вопроса оказывается, что наши "арабские" цифры частично, но далеко не полностью произошли от настоящих арабских цифр. Как утверждают некоторые источники цифры 2, 3, 7 произошли от арабских путем поворота их на 90 градусов для большего удобства записи. Если сильно не придираться, то похоже на правду. Цифры 1 и 9 также имеют арабское происхождение, и никакие повороты их написание не затронули. Действительно, тут сходство очевидно, чего не скажешь про 4, 5, 6, и 8.

Иногда кажется, что математические символы являются вненациональным научным инструментом, общим и единым для всех стран и народов.

Однако, наши "арабские" цифры отличаются как Вы уже поняли от "арабских" цифр в Египте. Европейская позиционная система записи цифр от старших разрядов к младшим, слева направо, также не единственная. На Востоке используется также система записи цифр справа - налево. В Египте цифры пишутся и читаются слева направо, так же как и у нас.

Автомобильные номера в Египте с настоящими арабскими цифрами.

На дорожных указателях и в названиях улиц часто используется и арабский и латинский шрифт.

Арабский алфавит - алфавит, используемый для записи арабского языка и (чаще всего в модифицированном виде) некоторых других языков, в частности персидского и некоторых тюркских языков. Он состоит из 28 букв и используется для письма справа налево. Арабский алфавит произошёл от финикийского алфавита включив в себя все его буквы и добавив к ним буквы отражающие специфически арабские звуки. Это буквы - са, ха, заль, дад, за, гайн.

Буквы имеют четыре графические позиции (начертания, написания):

самостоятельную (обособленную, изолированную от других букв), когда буква не имеет соединения ни справа от себя, ни слева;
начальную , то есть имеющую соединение только слева (кроме алиф, заль, даль, зейн, pa, вав);
срединную , то есть имеющую соединение и справа, и слева;
конечную (с соединением только с правой стороны).

Буква "алиф" в изолированном состоянии не передаёт звуков, то есть не обозначает самостоятельных звуков, не имеет произношения. Она имеет только правостороннее соединение, то есть не имеет левостороннего соединения. Только правостороннее соединение имеют также буквы "вав", "даль", "заль", "pa", "зейн". Те же нормы действуют и в египетском диалекте.

Обозначение согласных

Каждая из 28 букв, кроме буквы алиф, обозначает один согласный. Начертание букв меняется в зависимости от расположения внутри слова. Все буквы одного слова пишутся слитно, за исключением шести букв (алиф, даль, заль, ра, зай, вав), которые не соединяются со следующей буквой.

"Алиф" - единственная буква арабского алфавита, не обозначающая никакой согласный звук. В зависимости от контекста, она может использоваться для обозначения долгого гласного а, либо как вспомогательный орфографический знак, не имеющий собственного звучания.

Обозначение гласных

Три долгих гласных звука арабского языка обозначаются буквами "алиф", "вав", "йа". Краткие гласные на письме, как правило, не передаются. В случаях, когда необходимо передать точное звучание слова (например, в Коране и в словарях), для обозначения гласных звуков используются надстрочные и подстрочные огласовки (харакат).

28 букв, приведённых выше, называются хуруф. Кроме них, в арабском письме используется ещё три дополнительных знака, не являющихся самостоятельными буквами алфавита.

1. Хамза (гортанная смычка) может писаться как отдельная буква, либо на букве-"подставке" ("алиф", "вав" или "йа"). Способ написания хамзы определяется её контекстом в соответствии с рядом орфографических правил. Вне зависимости от способа написания, хамза всегда обозначает одинаковый звук.

2. Та-марбута ("завязанная та") является формой буквы та. Она пишется только в конце слова и только после огласовки фатха. Когда у буквы та-марбута нет огласовки (например, в конце фразы), она читается как буква ха. Обычная форма буквы та называется "открытая та".

3. Алиф-максура ("укороченный алиф") является формой буквы алиф. Она пишется только в конце слова, и сокращается до краткого звука а перед алиф-васла следующего слова (в частности, перед приставкой аль-). Обычная форма буквы алиф называется "удлинённый алиф".

Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку.

	1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.
	Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем, или на одну больше.
	10. Такими путами египтяне связывали коров
	Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
	100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.
	1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка.
	10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец.
	100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.
	1 000 000. Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф
	10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

- 1207, - 1 023 029

Попробуйте сложить эти два числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя.

Древняя греческая нумерация

В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующимколичеством вертикальных полосок: , , , . Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте". Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков:.

Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000.

Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая нумерация в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой. В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами греческого алфавита:

числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами:ѓ

числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами:

Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка ". Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше.

Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.

Примерно по такому же принципу организованную систему счисления имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока.