График линейного уравнения с двумя переменными. §22. график линейного уравнения с двумя переменными

Вы знаете, что каждой упорядоченной паре чисел соответствует определенная точка на координатной плоскости. Поскольку каждое решение уравнения с двумя переменными х и у - это упорядоченная пара чисел, то все его решения можно изобразить точками па координатной плоскости. В этих точек абсцисса - это значение переменной х, а ордината - соответствующее значение переменной у. Следовательно, получим график уравнения с двумя переменными.

Запомните!

Графиком уравнения с двумя переменными называется изображение на координатной плоскости всех точек, координаты которых удовлетворяют данное уравнение.

Посмотрите на рисунки 64 и 65. Вы видите график уравнения 0,5 x - у = 2, где х - четное одноцифрове число (рис. 64), и график уравнения х 2 + у 2 = 4 (рис. 65). Первый график содержит всего четыре точки, поскольку переменные х и у могут принимать только четыре значения. Второй же график является линией на координатной плоскости. Он содержит множество точек, поскольку переменная х может принимать любые значения от -2 до 2 и таких чисел - множество. Соответствующих значений в тоже множество. Они изменяются от 2 до 2.

На рисунке 66 показан график уравнения х + у = 4. В отличие от графика уравнения х 2 + у 2 = 4 (см. рис. 65), каждой абсцисі точек данного графика соответствует единственная ордината. А это означает, что на рисунке 66 изображен график функции. Убедитесь самостоятельно, что график уравнения на рисунке 64 также является графиком функции.

Обратите внимание

не у каждого уравнение его график является графиком функции, однако каждый график функции является графиком некоторого уравнения.

Уравнение x + y = 4 является линейным уравнением с двумя переменными. Решив его относительно у, получим: у = -х + 4. Полученное равенство можно понимать как формулу, которая задает линейную функцию у = -х + 4. Графиком такой функции является прямая. Итак, графиком линейного уравнения х + у = 4, который изображен на рисунке 66, есть прямая.

Можно ли утверждать, что график любого линейного уравнения с двумя переменными является прямой? Нет. Например, линейное уравнение 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0 удовлетворяет любая пара чисел, а потому график этого уравнения содержит все точки координатной плоскости.

Выясним, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными ах + bу + с = 0 в зависимости от значений коэффициентов а, b и с. Возможны такие случаи.

Пусть a ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 можно представить в виде:

Получили равенство, задающее линейную функцию у(х). Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, не проходящая через начало координат (рис. 67).

2. Пусть а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + by + 0 = 0, или у = х.

Получили равенство, что задает прямую пропорциональность у(х). Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, проходящая через начало координат (рис. 68).

3. Пусть a ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + 0 ∙ у + с = 0, или х = -.

Получили равенство не задает функцию y(). Это равенство удовлетворяют такие пары чисел (х; у), в которых х = , а у - любое число. На координатной плоскости эти точки лежат на прямой, параллельной оси OY. Итак, графиком данного уравнения является прямая, параллельная оси ординат (рис. 69).

4. Пусть a ≠ 0, b = 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + 0 ∙ у + 0 = 0, или х = 0.

Это равенство удовлетворяют такие пары чисел (x; у), в которых х = 0, а у - любое число. На координатной плоскости эти точки лежат на оси OY. Итак, графиком данного уравнения с прямая, совпадающая с осью ординат.

5. Пусть а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠0. Тогда уравнение ах + bу + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + by + с = 0, или у = -. Это равенство задает функцию y(x), что приобретает тех же значений для любых значений x, то есть является постоянной. Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 70).

6. Пусть а = 0, b ≠ 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + by + 0 = 0, или в = 0. Получили постоянную функцию у(х), в которой каждая точка графика лежит на оси ОХ. Итак, графиком данного уравнения является прямая, совпадающая с осью абсцисс.

7. Пусть a = 0, b = 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0, или 0 ∙ х + 0 ∙ в = с. А такое линейное уравнение не имеет решений, поэтому его график не содержит ни одной точки координатной плоскости.

8. Пусть а = 0, b = 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + 0 ∙ y + 0 = 0, или 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0. А такое линейное уравнение имеет множество решений, поэтому его с графиком-вся координатная плоскость.

Можем подытожить полученные результаты.

График линейного уравнения с двумя переменными ах + bу +с = 0:

Является прямой, если а ≠ 0 или b ≠ 0;

Является всей плоскостью, если а = 0, b = 0 и с = 0;

Не содержит ни одной точки координатной плоскости, если а = 0, b = 0 и с ≠ 0.

Задача. Постройте график уравнения 2х - у - 3 = 0

Решения. Уравнения 2х - у - 3 = 0 является линейным. Поэтому его графиком является прямая у = 2х - 3. Для ее построения достаточно задать две точки, принадлежащие этой прямой. Составим таблицу значений у для двух произвольных значений х, например, для х = 0 и х = 2(табл. 27).

Таблица 27

На координатной плоскости обозначим точки с координатами (0; -3) и (2; 1) и проведем через них прямую (рис. 70). Эта прямая - искомый график уравнения 2х - у - 3 = 0.

Можно ли отождествлять график линейного уравнения с двумя переменными и график уравнения первой степени с двумя переменными? Нет, поскольку существуют линейные уравнения не являются уравнениями первой степени. Например, таковыми являются уравнение 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0, 0 ∙ х + 0 ∙ у + 0 = 0.

Обратите внимание:

График линейного уравнения с двумя переменными может быть прямой, всей плоскостью или не содержать ни одной точки координатной плоскости;

График уравнения первой степени с двумя переменными всегда является прямой.

Узнайте больше

1. Пусть а ≠ 0. Тогда общее решение уравнения можно представить еще и в таком виде: Х = - у -. Получили линейную функцию х(у). Ее графиком является прямая. Для построения такого графика надо по-другому состковать оси координат: первой координатной осью (независимой переменной) считать ось ОУ, а второй (зависимой переменной)

Ось ОХ. Тогда ось ОУ удобно расположить горизонтально, а ось ОХ

Вертикально (рис. 72). График уравнения в этом случае тоже будет по-разному размещаться на координатной плоскости в зависимости отмечаний коэффициентов b и с. Исследуйте это самостоятельно.

2. Николай Николаевич Боголюбов (1909-1992) - выдающийся отечественный математик и механик, физик-теоретик, основатель научных школ по нелинейной механике и теоретической физике, академик АН УССР (1948) и АН СССР (с 1953). Родился в г. Нижний Новгород Российской империи. В 1921 г. семья переехала в Киев. После окончания семилетней школы Боголюбов самостоятельно изучал физику и математику и с 14-ти лет уже принимал участие в семинаре кафедры математической физики Киевского университета под руководством академика Д. А. Граве. В 1924 г. в 15-летнем возрасте Боголюбов написал первую научную работу, а в следующем году был принят в аспирантуру АНУРСР к академикам. М. Крылова, которую закончил в 1929 г., получив в 20 лет степень доктора математических наук.

В 1929 p. М.М. Боголюбов стал научным сотрудником Украинской академии наук, в 1934 начал преподавать в Киевском университете (с 1936 г. - профессор). С конца 40-х годов XX века. одновременно работал в России. Был директором Объединенного института ядерных исследований, а впоследствии - директором Математического института имени. А. Стеклова в Москве, преподавал в Московском государственном университете имени Михаила Ломоносова. В 1966 г. стал первым директором созданного им Института теоретической физики АН УССР в Киеве, одновременно (1963-1988) он - академик - секретарь Отдела математики АН СССР.

М.М. Боголюбов -дважды Герой Социалистического Труда (1969,1979), награжден Ленинской премией (1958), Государственной премией СССР (1947.1953,1984), Золотой медалью им. М. В. Ломоносова АН СССР (1985).

21 сентября 2009 г. на фасаде Красного корпуса Киевского национального университета имени Тараса Шевченко была открыта мемориальная доска гениальному ученому-академику Николаю Боголюбову в честь столетия со дня его рождения.

В 1992 г. Национальной академией наук Украины была основана Премия НАН Украины имени Н. М. Боголюбова, которая вручается Отделением математики НАН Украины за выдающиеся научные работы в области математики и теоретической физики. В честь ученого была названа малая планета «22616 Боголюбов».

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

2. В любом случае графиком уравнения с двумя переменными является прямая; плоскость?

3. В каком случае график линейного уравнения с двумя переменными проходит через начало координат?

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

1078 . На каком из рисунков 73-74 изображен график линейного уравнения с двумя переменными? Ответ объясните.

1079 . При каких значений коэффициентов а, b и с прямая ах + bу + с =0.

1) проходит через начало координат;

2) параллельна оси абсцисс;

3) параллельна оси ординат;

4) совпадает с осью абсцисс;

5) совпадает с осью ординат?

1080 . Не выполняя построения, определите, принадлежит графику линейного уравнения с двумя переменными 6х - 2у + 1 = 0 точка:

1)А(-1;2,5); 2)В(0;3,5); 3) С(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).

1081 . Не выполняя построения, определите, принадлежит графику линейного уравнения с двумя переменными 3х + 3у - 5 = 0 точка:

1) A (-1; ); 2) B (0; 1).

1082

1) 2х + у - 4 = 0, если х = 0; 3) 3х + 3у - 1 = 0, если х = 2;

2) 4х - 2y + 5 = 0, если х = 0; 4)-5х - у + 6 = 0, если х = 2.

1083 . Для данного линейного уравнения с двумя переменными найдите значение у, соответствующее заданному значению х:

1)3х - у + 2 = 0, если х = 0; 2) 6х - 5y - 7 = 0, если х = 2.

1084

1) 2х + у - 4 = 0; 4) -х + 2у + 8 = 0; 7) 5х - 10 = 0;

2) 6х - 2y + 12 = 0; 5)-х - 2у + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;

3) 5х - 10y = 0; 6)х - у = 0; 9) х - у = 0.

1085 . Постройте график линейного уравнения с двумя переменными:

1) 4х + у - 3 = 0; 4) 10х - 5у - 1 = 0;

2) 9х - 3у + 12 = 0; 5) 2х + 6 = 0;

3)-4х - 8у = 0; 6) у - 3 = 0.

1086 . Найдите координаты точки пересечения графика линейного уравнения с двумя переменными 2х - 3у - 18 = 0 с осью:

1) оси; 2) оси.

1087 . Найдите координаты точки пересечения графика линейного уравнения с двумя переменными 5х + 4у - 20 = 0 с осью:

1) оси; 2) оси.

1088 . На прямой, которая является графиком уравнения 0,5 х + 2у - 4 = 0, обозначено точку. Найдите ординату этой точки, если ее абсцисса равна:

5) 4(х - у) = 4 - 4у;

6) 7х - 2у = 2(1 + 3,5 х).

1094 . График линейного уравнения с двумя переменными проходит через точку А(3; -2). Найдите неизвестный коэффициент уравнения:

1) ах + 3у - 3 = 0;

2) 2х - by + 8 = 0;

3)-х + 3у - с = 0.

1095 . Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения графиков уравнений:

х - y + 4 = 0, х - у - 4 = 0, -х - у + 4 = 0, -х - у - 4 = 0

1096 . Постройте график уравнения:

1) а - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ а + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

1097 . Составьте линейное уравнение с двумя переменными по следующим данным: 1) 3 кг конфет и 2 кг печенья стоят 120 грн; 2) 2 ручки дороже 5 карандашей на 20 грн. Постройте график составленного уравнения.

1098 . Постройте график уравнения к задаче о: 1) количество девушек и парней в вашем классе; 2) покупку тетрадей в линейку и в клеточку.

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

1099. Турист прошел 12 км за час. За сколько часов турист преодолеет расстояние 20 км с такой же скоростью движения?

1100. Какой должна быть скорость поезда по новому расписанию, чтобы он мог проехать расстояние между двумя станциями за 2,5 ч, если согласно старого расписания, двигаясь со скоростью 100 км/ч он преодолевал ее за 3 ч?

§ 1 Отбор корней уравнения при реальных ситуациях

Рассмотрим такую реальную ситуацию:

Мастер и ученик вместе изготовили на заказ 400 деталей. Причём мастер работал 3 дня, а ученик 2 дня. Сколько деталей изготовил каждый?

Составим алгебраическую модель данной ситуации. Пусть мастер изготавливает за 1 деньхдеталей. А ученик у деталей. Тогда мастер за 3 дня изготовит 3х деталей, а ученик изготовит за 2 дня 2у деталей. Вместе они изготовят 3х + 2удеталей. Так как по условию всего изготовлено 400 деталей, то получим уравнение:

Полученное уравнение называют линейным уравнением с двумя переменными. Здесь нам надо найти пару чисел х и у, при которых уравнение примет вид верного числового равенства. Заметим, что если х= 90, у = 65, то получим равенство:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Так как получено верное числовое равенство, то пара чисел 90 и 65 будет являться решением этого уравнения. Но найденное решение не единственно. Если х = 96 и у = 56, то получаем равенство:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Это тоже верное числовое равенство, а, значит, пара чисел 96 и 56 так же является решением этого уравнения. А вот пара чисел х= 73и у= 23 не будет являться решением этого уравнения. В самом деле, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 даст нам неверное числовое равенство 265 = 400.Необходимо отметить, что если рассматривать уравнение применительно к данной реальной ситуации, то будут существовать пары чисел, которые, являясь решением данного уравнения, не будут являться решением задачи. Например, пара чисел:

х = 200 и y = -100

является решением уравнения, но ученик не может сделать -100 деталей, а поэтому такая пара чисел ответом на вопрос задачи быть не может. Таким образом, в каждой конкретной реальной ситуации необходимо разумно подходить к отбору корней уравнения.

Подведём первые итоги:

Уравнение вида ах + bу + с = 0, где а, b, с - любые числа, называют линейным уравнением с двумя переменными.

Решением линейного уравнения с двумя переменными называют пару чисел соответствующих х и у, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство.

§ 2 График линейного уравнения

Сама запись пары (х;у) наталкивает нас на мысль о возможности изображения её в виде точки с координатами хи у на плоскости. А значит, мы можем получить геометрическую модель конкретной ситуации. Например, рассмотрим уравнение:

2х + у - 4 = 0

Подберём несколько пар чисел, которые будут являться решениями этого уравнения и построим точки с найденными координатами. Пусть это будут точки:

А(0; 4), В(2; 0), С(1; 2), D(-2; 8), Е(- 1; 6).

Заметим, что все точки лежат на одной прямой. Такую прямую называют графиком линейного уравнения с двумя переменными. Она является графической (или геометрической) моделью данного уравнения.

Если пара чисел (х;у) является решением уравнения

ах + ву + с = 0, то точка М(х;у) принадлежит графику уравнения. Можно сказать и наоборот: если точка М(х;у) принадлежат графику уравнения ах + ву + с = 0, то пара чисел (х;у) является решением этого уравнения.

Из курса геометрии мы знаем:

Для построения прямой необходимо 2 точки, поэтому для построения графика линейного уравнения с двумя переменными достаточно знать всего 2 пары решений. Но угадывание корней процедура далеко не всегда удобная, не рациональная. Можно действовать и по другому правилу. Поскольку абсцисса точки (переменная х) это независимая переменная, то можно придать ей любое удобное значение. Подставив это число в уравнение, мы найдём значение переменной у.

Например, пусть дано уравнение:

Пусть х = 0, тогда получим 0 - у + 1 = 0 или у = 1. Значит, если х = 0, то у = 1. Пара чисел (0;1) - решение этого уравнения. Зададим для переменной х ещё одно значение х = 2. Тогда получим 2 - у + 1 = 0 или у = 3. Пара чисел (2;3) также является решением этого уравнения. По двум найденным точкам уже можно построить график уравнения х - у + 1 =0.

Можно поступить и так: сначала придать некоторое конкретное значение переменной у, а уж потом вычислить значение х.

§ 3 Система уравнений

Найдите два натуральных числа, сумма которых 11, а разность 1.

Для решения этой задачи сначала составим математическую модель (а именно алгебраическую). Пусть первое число х, а второе - у. Тогда сумма чисел х + у = 11 и разность чисел х - у = 1. Так как в обоих уравнениях речь идёт об одних и тех же числах, то данные условия должны выполниться одновременно. Обычно в таких случаях используют специальную запись. Уравнения записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой.

Такую запись называют системой уравнений.

Теперь построим множества решений каждого уравнения, т.е. графики каждого из уравнений. Возьмём первое уравнение:

Если х =4, то у = 7. Если х = 9, то у = 2.

Через точки (4;7) и (9;2) проведём прямую.

Возьмём второе уравнение х - у = 1. Если х = 5, то у = 4. Если х = 7, то у = 6. Через точки (5;4) и (7;6) так же проведём прямую. Получили геометрическую модель задачи. Интересующая нас пара чисел (х;у) должна являться решением обоих уравнений. На рисунке мы видим единственную точку, которая лежит на обеих прямых, это - точка пересечения прямых.

Её координаты (6;5). Поэтому решением задачи будет: первое искомое число 6, второе 5.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Линейная функция 7 класс алгебра Урок № 6 -7. Координатная плоскость. Линейное уравнение с двумя переменными и его график 06.07.2012 1 www.konspekturoka.ru

Цели: 06.07.2012 Напомнить понятие координатной плоскости. Рассмотреть изображение точки на координатной плоскости. Дать понятие об уравнении с двумя переменными, их решение и графике уравнения. Научить строить график линейного уравнения с двумя переменными. Изучить алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными. 2 www.konspekturoka.ru

O x y 1 Две взаимно перпендикулярные числовые оси образуют прямоугольную систему координат 1 - 1 - 1 I II III I V Координатные углы Ординат (ось оу) Абсцисс (ось ох) Вспомним! 06.07.2012 3 www.konspekturoka.ru

O x y 1 х = -3 У = 3 х = -5 у = -2 Х = 4 у = -5 х = 2 У = 5 06.07.2012 www.konspekturoka.ru 4 Вспомним! Алгоритм отыскания координат точки М(a ; b) Провести через точку прямую, параллельную оси у, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью х – это и будет абсцисса точки. 2. Провести через точку прямую, параллельную оси х, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью у - это и будет ордината точки. А В 5 2 С 4 -5 М -2 -5 3 -3 В(2;5); С(4;-5); М(-5;-2); А(-3;3)

A (-4; 6) B (5; -3) C (2; 0) D (0; -5) Вспомним! Алгоритм построения точки М(a ; b) Построить прямую х = а. Построить прямую у = b. Найти точку пересечения построенных прямых – это и будет точка М(а; b) 6 -4 5 -3 -5 2 06.07.2012 5 www.konspekturoka.ru

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 6 Уравнение вида: a х + b = 0 называется линейным уравнением с одной переменной (где х – переменная, а и b некоторые числа). Внимание! х – переменная входит в уравнение обязательно в первой степени. (45 - у) + 18 = 58 линейное уравнением с одной переменной 3х² + 6х + 7 = 0 не линейное уравнением с одной переменной Вспомним!

ах + by + c = 0 Линейное уравнение с двумя переменными 06.07.2012 7 www.konspekturoka.ru Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством. Уравнение вида: называется линейным уравнением с двумя переменными (где х, у - переменные, а, b и с - некоторые числа). (х; y)

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 8 Решить линейное уравнение с одной переменной – это значит найти те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. (х; y)- ? Таких решений бесконечно много.

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 9 Линейное уравнение с двумя переменными обладают свойствами, как уравнения с одной переменной Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на число (не равное нулю), то получится равносильное уравнение.

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 10 Равносильные уравнения Так как член 4у³ перенесен из левой части в правую Уравнения с двумя переменными имеющие одни и те же корни, называют равносильными.

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 11 O x y 1 Пример 1 Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у – 3 = 0 точками в координатной плоскости. 1. Подберем несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5). 2. Построим в хОу точки: А(3; 0), В(2; 1), С(1; 2), Е(0; 3), М(-2; 5). 3 Е(0; 3) 1 2 С(1; 2) 1 2 В(2; 1) 3 А(3; 0) -2 5 М(-2; 5) 3. Соединим все точки. Внимание! Все точки лежат на одной прямой. В дальнейшем: для построения прямой достаточно 2 точки m m - график уравнения х + у - 3 = 0 Говорят: т – геометрическая модель уравнения х + у – 3 = 0 -4 7 Р(-4; 7) Р(-4; 7) – пара, которая принадлежит прямой и есть решением уравнения

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 12 Вывод: Если (-4; 7) – пара чисел, удовлетворяет уравнению, то точка Р(-4; 7) принадлежит прямой т. Если точка Р(-4; 7) принадлежит прямой т, то пара(-4;7) - есть решением уравнения. Наоборот:

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 13 Теорема: Графиком любого линейного уравнения ах + by + c = 0 есть прямая. Для построения графика достаточно найти координаты двух точек. Реальная ситуация (словесная модель) Алгебраическая модель Геометрическая модель Сумма двух чисел равна 3. х + у = 3 (линейное уравнение с двумя переменными) прямая т (график линейного уравнения с двумя переменными) х + у – 3 = 0

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 14 x y 1 Пример 2 Построить график уравнения 3 х - 2у + 6 = 0 1. Пусть х = 0, подставим в уравнение 3· 0 - 2у + 6 = 0 - 2у + 6 = 0 - 2у = - 6 у = - 6: (-2) у = 3 (0;3) - пара чисел, есть решением 2. Пусть у = 0, подставим в уравнение 3· х - 2· 0 + 6 = 0 3х + 6 = 0 3х = - 6 х = - 6: 3 х = - 2 (-2;0) - пара чисел, есть решением 3. Построим точки и соединим прямой 0 3 -2 3 х - 2у + 6 = 0

06.07.2012 www.konspekturoka.ru 15 Алгоритм построения графика уравнения ах + b у + c = 0 Придать переменной х конкретное значение х ₁; найти из уравнения ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₁. Получим (х₁;у₁). 2. Придать переменной х конкретное значение х ₂; найти из уравнения ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₂. Получим (х ₂ ;у ₂). 3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁), (х ₂ ; у₂) и соединим прямой. 4. Прямая – есть график уравнения.

06.07.2012 16 www.konspekturoka.ru Ответить на вопросы: Что называется координатной плоскостью? Какой алгоритм нахождения координат точки на координатной плоскости? Какой алгоритм построения точки на координатной плоскости? Сформулируйте основные свойства уравнений. Какие уравнения называются равносильными? Что является решением линейного уравнения с двумя переменными? 7. Какой алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными?

Определение: ax + by + c = 0, где a, b и c – числа (также их называют коэффициенты), причем a и b не равны нулю, x и y – переменные, называют линейным уравнением с уравнение вида двумя переменными. Пример 1: 5 x – 2 y + 10 = 0 – линейное уравнение с двумя переменными: a = 5, b = -2, c = 10, x и y – переменные. Пример 2: – 4 x = 6 y – 14 – также является линейным уравнением с двумя переменными. Если перенести все члены уравнения в левую часть, то получим это же уравнение, записанное в общем виде: – 4 x – 6 y + 14 = 0, где а = – 4, b = – 6, c = 14, x и y – переменные. Общим видом линейного уравнения с двумя переменными называют запись: ax + by + c = 0, когда все члены уравнения записаны в левой части от знака = , а в правой части записан нуль. Пример 3: 3 z – 5 w + 15 = 0 – также является линейным уравнением с двумя переменными. В данном случае переменными являются z и w. В качестве переменных вместо x и y могут быть любые буквы латинского алфавита.

Таким образом, линейным уравнением с двумя переменными, можно назвать любое уравнение, содержащее две переменные, за исключением двух случаев: 1. Когда переменные в уравнении возведены в степень, отличную от первой! Пример 1: -5 x 2 + 3 y + 9 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменная x во второй степени. Пример 2: 6 x – y 5 + 12 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменная у в пятой степени. 2. Когда уравнение содержит переменную в знаменателе! Пример 3: 2 x + 3/y + 18 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменная у содержится в знаменателе. Пример 4: 1/x – 2/y + 3 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменные х и у содержатся в знаменателе.

Определение: Решением линейного уравнения с двумя переменными ax + by + c = 0, называется всякая пара чисел (х; у), которая, при подстановке в данное уравнение, превращает его в верное равенство. Пример 1: Для линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0 решением является пара чисел (-4; -5). В этом легко убедиться, если подставить в уравнение х = -4 и у = -5: 5·(-4) – 2·(-5) + 10 = 0 -20 + 20 = 0 – верное равенство. Пример 2: Для того же уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0 пара чисел (1; 4) не является решением: 5·1 – 2·4 + 10 = 0 5 – 8 + 10 = 0 7 = 0 – не верное равенство.

Для любого линейного уравнения с двумя переменными, можно подобрать бесконечное количество пар чисел (х; у), которые будут являться его решениями. Действительно, для линейного уравнения из предыдущего примера 5 x – 2 y + 10 = 0, помимо пары чисел (-4; -5), решениями будут являться пары чисел: (0; 5), (-2; 0), (2; 10), (-3; -2, 5), (-1; 2, 5) и т. д. Такие пары чисел можно подбирать бесконечно. Замечание: Решение линейного уравнения с двумя переменными записывается в круглых скобках, причем на первом месте всегда записывается значение переменной х, а на втором месте всегда записывается значение переменной у!

Графиком линейного уравнения с двумя переменными ax + by + c = 0 является прямая линия. Например: график уравнения 2 х + у – 2 = 0 выглядит как показано на рисунке. Все точки прямой линии на графике являются решениями для данного линейного уравнения. График линейного уравнения с двумя переменными является геометрической моделью этого уравнения: таким образом, с помощью графика, можно изобразить бесконечное множество решений линейного уравнения с двумя переменными.

Как построить график линейного уравнения ax + by + c = 0 ? Запишем план действий: 1. Задать прямоугольную систему координат для того, чтобы изобразить все решения линейного уравнения (х; у), мы воспользуемся прямоугольной системой координат, где по оси Ох мы будем откладывать значения переменной х, а по оси Оу – значения переменной у. 2. Подобрать две пары чисел: (х1; у1) и (х2; у2), являющиеся решениями для данного линейного уравнения На самом деле, мы можем подбирать сколько угодно решений (х; у), все они будут лежать на одной прямой. Но для того, чтобы провести прямую – график линейного уравнения, нам достаточно всего двух таких решений, ведь мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Подобранные решения принято записывать в виде таблицы: х х1 х2 у у1 у2 3. Изобразить точки (х1; у1) и (х2; у2) в прямоугольной системе координат. Провести через эти две точки прямую линию – она и будет графиком уравнения ax + by + c = 0.

Пример: построим график линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0: 1. Зададим прямоугольную систему координат х. Оу: 2. Подберем два решения для нашего уравнения и запишем их -4 -2 х в таблицу: у -5 0 Для уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0 решениями являются, к примеру, пары чисел: (-4; -5) и (-2; 0) (см. слайд 5). Запишем их в таблицу. Примечание: пара чисел (2; 10) также является решением для нашего уравнения (см. слайд 5), но координату у = 10 в нашей системе координат строить неудобно, так как у нас по оси у вверх отложено всего 7 клеточек, а продолжить ось места нет. Поэтому: чтобы построить график линейного уравнения, из всего бесконечного множества решений, мы подбираем такие пары чисел (х; у), которые удобнее построить в прямоугольной системе координат!

Пример: построим график линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0: х -4 -2 у -5 0 3. Строим график: Построим в системе координат точку (-4; -5): По оси х откладываем координату -4 По оси у откладываем координату -5 На пересечении координат получаем первую точку. Аналогично строим точку с координатами (-2; 0): По оси х откладываем координату -2 По оси у откладываем координату 0 На пересечении координат получаем вторую точку. -4 -2 0 -5 Через две точки проводим прямую – график линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0

Линейная функция. Если из линейного уравнения ax + by + c = 0 выразить переменную у, то есть переписать уравнение в виде, где у в левой части уравнения, а всё остальное в правой: ax + by + c = 0 – перенесем ax и c в правую часть by = – ax – с – выразим у у = (– ax – с) : b, где b ≠ 0 у = – a/b · х – с/b, обозначим – a/b = k и – с/b = m y = kx + m – получили более простую запись линейного уравнения с двумя переменными. Таким образом, линейное уравнение с двумя переменными, записанное в виде: y = kx + m, где переменные, k и m – коэффициенты, называется линейной функцией. хиу– Переменная х – называется независимой переменной или аргументом. Переменная у – называется зависимой переменной или значением функции.

График линейной функции. Так как линейная функция - это частный вид линейного уравнения с двумя переменными, а графиком линейного уравнения является прямая линия, то можно сделать следующий вывод: графиком линейной функции y = kx + m является прямая линия. Как построить график линейной функции? Задаем прямоугольную систему координат. Находим пары чисел: (х1; у1) и (х2; у2), х х1 х2 являющиеся решениями для линейной у у1 у2 функции и записываем их в таблицу. Для того, чтобы найти решения линейной функции, не обязательно подбирать их в уме, как мы это делали для линейного уравнения. Нужно придать переменной х конкретные значения х1 и х2, и, подставив их поочередно в функцию, посчитать значения у1 = kx 1 + m и у2 = kx 2 + m. Примечание: переменной х можно придавать абсолютно любые значения, но целесообразно брать такие числа, которые нам удобно будет строить в прямоугольной системе координат, например числа 0, 1, -1. 3. Строим точки (х1; у1) и (х2; у2), и проводим через них прямую линию – это и будет график линейной функции.

Пример 1: построим график линейной функции у = 0, 5 х + 4: 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним табличку: х 0 -2 у 4 3 Придадим переменной х конкретные значения х1 и х2: удобнее взять х1 = 0, так как с нулём легче считать, получаем: у1 = 0, 5·0 + 4 = 4 х2 можно взять равным 1, но тогда у2 получим дробное число: 0, 5 · 1 + 4 = 4, 5 – его неудобно строить на координатной плоскости, удобнее взять х2 равным 2 или -2. Пусть х2 = -2 , получаем: у2 = 0, 5·(-2) + 4 = -1 + 4 = 3 4 3 -2 0 3. Построим на координатной плоскости точки (0; 4) и (-2; 3) проведем через эти точки прямую линию – получим график линейной функции у = 0, 5 х + 4

Пример 2: построим график линейной функции у = -2 х + 1: 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним табличку: х 0 1 у 1 -1 Придадим переменной х конкретные значения х1 и х2: например х1 = 0, получаем: у1 = -2 ·0 + 1 = 1 1 1 -1 0 пусть х2 = 1 , получаем: у2 = -2· 1 + 1 = -2 + 1 = -1 3. Построим на координатной плоскости точки (0; 1) и (1; -1) проведем через эти точки прямую линию – получим график линейной функции у = -2 х + 1

Пример 3: постройте график линейной функции у = -2 х + 1, и найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 3] 1. Построим график функции (см. предыдущий слайд). Значение функции – это значение переменной у. Таким образом, нужно найти у наибольшее и у наименьшее, если переменная х наименьшее может принимать значения только из промежутка [-2; 3]. 2. Отметим на оси Ох отрезок [-2; 3] 3. Через концы отрезка проводим прямые, параллельные оси Оу, Оу отмечаем точки пересечения этих прямых с графиком. Так как по условию у нас дан отрезок, то точки рисуем закрашенные! 5 - наибольшее 1 1 -2 0 3 наименьшее - -5 4. Находим ординаты полученных точек: у = 5 и у = -5. -5 Очевидно, что наибольшим значением у из промежутка [-5; 5] является у = 5, а 5 наименьшим – у = -5. -5

Вариант 3. Задание № 1: постройте график линейной функции у = 1/2 х – 2. 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним табличку: х 0 2 у -2 -1 Придадим переменной х конкретные значения х1 и х2: например х1 = 0, получаем: у1 = 1/2 · 0 – 2 = -2 пусть х2 = 2 , получаем: у2 = 1/2 · 2 – 2 = 1 – 2 = -1 0 2 -1 -2 3. Построим на координатной плоскости точки (0; -2) и (2; -1) проведем через эти точки прямую линию – получим график линейной функции у = 1/2 х – 2

Задание № 1: С помощью графика найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-2; 4] Значение функции – это значение переменной у. Таким образом, нужно найти у наибольшее и у наименьшее, если переменная х наименьшее может принимать значения только из промежутка [-2; 4]. 1. Отметим на оси Ох отрезок [-2; 4] 2. Через концы отрезка до пересечения с графиком, проводим прямые, параллельные оси Оу. Оу Отмечаем точки пересечения этих прямых с графиком. Так как по условию у нас дан отрезок, то точки рисуем закрашенные! наибольшее - 0 -2 -1 -2 2 4 -3 - наименьшее 3. Находим ординаты полученных точек: у = 0 и у = -3. -3 Очевидно, что наибольшим значением у из промежутка [-3; 0] является у = 0, а наименьшим – у = -3. -3

Задание № 1: С помощью графика найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-2; 4] Замечание: по графику не всегда можно точно определить координаты той или иной точки, это связано с тем, что размеры клеточек в тетради могут быть не идеально ровными, или мы можем немного криво провести прямую через две точки. А результатом такой погрешности могут быть неправильно найденные наибольшее и наименьшее значение функции. Поэтому: если мы находим координаты тех или иных точек по графику, обязательно после делаем проверку, подставив найденные координаты в уравнение функции! Проверка: подставим координаты хнаим. = -2 и унаим. = -3 в функцию у = 1/2 х – 2: -3 = 1/2 · (-2) – 2 -3 = -1 – 2 -3 = -3 – верно. Подставим координаты хнаиб. = 4 и унаиб. = 0 в функцию у = 1/2 х – 2: 0 = 1/2 · 4 – 2 0=2– 2 0 = 0 – верно. Ответ: унаиб = 0, унаим = -3

Задание № 1: С помощью графика найдите: б) значения переменной х, при которых у ≤ 0. На координатной плоскости все значения переменной у - меньшие нуля, расположены ниже оси Ох. Ох Таким образом, для того, чтобы решить неравенство у ≤ 0, нужно 0 рассмотреть часть графика, 2 расположенную ниже оси Ох и с 4 -∞ 0 помощью промежутка записать какие при этом значения принимает -1 переменная х. -2 1. Отметим часть графика, расположенную ниже оси Ох 2. Отметим точку пересечения графика с осью Ох, Ох это точка с координатой х = 4. Так как мы имеем не строгое неравенство «≤» , то точка должна быть закрашена! 3. Отмечаем часть оси Ох, соответствующую выделенной части графика, это и Ох будет искомая область. Записываем ответ: х принадлежит промежутку (-∞; 4] – скобка квадратная, так как в условии неравенство не строгое «≤» !

Задание № 2: Найдите координаты точки пересечения прямых у = 3 х и у = -2 х - 5 Данное задание можно решить двумя способами. 1 способ – графический: Построим графики данных линейных функций в одной координатной плоскости: 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним 0 х табличку для 0 у функции у = 3 х возьмем х1 = 0, получаем: у1 = 3 · 0 = 0 3 1 3 возьмем х2 = 1, получаем: у2 = 3 · 1 = 3 3. Построим на координатной плоскости точки (0; 0) и (1; 3) проведем через эти точки график – прямую линию. 0 1

Задание № 2: Найдите координаты точки пересечения прямых у = 3 х и у = -2 х - 5 4. Заполним 0 -1 х табличку для -5 -3 функции у = -2 х - 5 у возьмем х1 = 0, получаем: у1 = -2 · 0 – 5 = -5 возьмем х2 = -1, получаем: у2 = -2 · (-1) – 5 = 2 – 5 = -3 5. Построим на координатной плоскости точки (0; -5) и (-1; -3) 3 -1 0 1 -3 проведем через эти точки график -5 6. Находим абсциссу и ординату точки пересечения полученных графиков: х = -1 и у = -3. -3 Замечание: если мы решаем графическим способом, то, как только мы Замечание нашли абсциссу и ординату точки пересечения графиков, обязательно нужно сделать проверку, подставив найденные координаты в оба уравнения! Проверка: для у = 3 х: -3 = 3 · (-1) для у = -2 х – 5: -3 = -2 · (-1) – 5 -3 = -3 - верно Ответ: (-1; -3)

Задание № 2: Найдите координаты точки пересечения прямых у = 3 х и у = -2 х - 5 2 способ – аналитический: Пусть данные прямые пересекаются в точке А(х; у), координаты х и у которой мы должны найти. Рассмотрим функции у = 3 х и у = -2 х – 5 – как линейные уравнения с двумя переменными. Так как обе прямые проходят через точку А, то координаты этой точки: пара чисел (х; у) – является решением для обоих уравнений, то есть нам нужно подобрать такую пару чисел (х; у), чтобы при подстановке и в первое, и во второе уравнение, получилось верное равенство. А найдем мы эту пару чисел следующим образом: так как левые части уравнений равны у = у, то, соответственно, мы можем приравнять правые части этих уравнений: 3 х = -2 х – 5. Запись 3 х = -2 х – 5 – это линейное уравнение с одной переменной, решим его и найдем переменную х: Решение: 3 х = -2 х – 5 3 х + 2 х = -5 5 х = -5: 5 х = -1 Получили х = -1. Теперь осталось только подставить х = -1 в любое из уравнений и найти переменную у. Удобнее подставить в первое уравнение у = 3 х, получаем: у = 3 · (-1) = -3 Получили точку А с координатами (-1; -3). Ответ: (-1; -3)

Задание № 3: а) Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0 с осями координат Графиком линейного уравнения, как вы уже знаете, является прямая линия, и она может пересекать координатные оси Ох и Оу в одной точке, если проходит через начало координат, и эта точка (0; 0); либо в двух точках: 1. (х; 0) – точка пересечения графика с осью Ох 2. (0; у) – точка пересечения графика с осью Оу. Найдем эти точки: 1. Подставим в уравнение значение у = 0, получим: 3 х + 5·0 + 15 = 0 – решим это уравнение и найдём х. 3 х + 15 = 0 3 х = -15 Получили точку с координатами: (-5; 0) – это точка пересечения х = -15: 3 графика с осью Ох х = -5 2. Подставим в уравнение значение х = 0, получим: 3·0 + 5 у + 15 = 0 – решим это уравнение и найдем у. 5 у + 15 = 0 5 у = -15 Получили точку с координатами: (0; -3) – это точка пересечения у = -15: 5 графика с осью Оу у = -3 Ответ: (-5; 0) и (0; -3)

Задание № 3: б) Определите, принадлежит ли графику уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0 точка С(1/3; -3, 2) Если точка С(1/3; -3, 2) принадлежит графику данного уравнения, то она является для этого уравнения решением, то есть при подстановке в уравнение значений х = 1/3 и у = -3, 2 должно получиться верное равенство! В противном случае, если верного равенства не получается, эта точка не принадлежит графику данного уравнения. Подставим в уравнение х = 1/3 и у = -3, 2 и проверим: 3 · 1/3 + 5 · (-3, 2) + 15 = 0 1 – 16 + 15 = 0 – 15 + 15 = 0 0 = 0 – верное равенство. Следовательно, точка С принадлежит графику уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0 Ответ: точка С(1/3; -3, 2) принадлежит графику уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0

Задание № 4: а) Задайте линейную функцию у = kx формулой, если известно, что её график параллелен прямой 6 х – у – 5 = 0. б) Определите, возрастает или убывает заданная вами линейная функция. Теорема о взаимном расположении графиков линейных функций: Даны две линейные функции у = k 1 x + m 1 и y = k 2 x + m 2: Если k 1 = k 2 , при этом m 1 ≠ m 2 , то графики этих функций – параллельны. Если k 1 ≠ k 2 , и m 1 ≠ m 2 , то графики этих функций – пересекаются. Если k 1 = k 2 , и m 1 = m 2 , то графики этих функций – совпадают. а) По теореме о взаимном расположении графиков линейных функций: если прямые у = kx и 6 х – у – 5 = 0 – параллельны, то коэффициент k функции у = kx, kx равен коэффициенту k функции 6 х – у – 5 = 0. 0 Приведем уравнение 6 х – у – 5 = 0 к виду линейной функции и выпишем его коэффициенты: 6 х – у – 5 = 0 – перенесем -у вправо, получим: 6 х – 5 = у или у = 6 х – 5 , k = 6, m = – 5. 6 5 Следовательно, функция у = kx имеет вид: у = 6 х. 6 х б) Функция возрастает если k > 0 и убывает, если k 0! 0 Ответ: y = 6 x, функция возрастает. 6 x

Задание № 5: При каком значении p решением уравнения 2 px + 3 y + 5 p = 0 является пара чисел (1, 5; -4)? Так как пара чисел (1, 5; -4) является решением для данного уравнения, то подставим в уравнение 2 px + 3 y + 5 p = 0 значения х = 1, 5 и у = -4, получим: 2 p · 1, 5 + 3 · (-4) + 5 p = 0 – выполним умножение 3 p – 12 + 5 p = 0 – решим данное уравнение и найдем p 3 p + 5 p = 12 8 p = 12: 8 p = 1, 5 Следовательно, при p = 1, 5 решением уравнения 2 px + 3 y + 5 p = 0 является пара чисел (1, 5; -4) Проверка: при p = 1, 5 получаем уравнение: 2·1, 5 х + 3 у + 5·1, 5 = 0 3 х + 3 у + 7, 5 = 0 – подставим в данное уравнение х = 1, 5 и у = -4, получим: 3·1, 5 + 3 ·(-4) + 7, 5 = 0 4, 5 – 12 + 7, 5 = 0 0 = 0 – верно. Ответ: p = 1, 5