Монотонная функция. Возрастание, убывание и экстремумы функции
Читайте также
Мы впервые познакомились в курсе алгебры 7-го класса. Глядя на график функции, мы снимали соответствующую информацию: если двигаясь по графику слева направо мы в то же время движемся снизу вверх (как бы поднимаемся в горку), то мы объявляли функцию возрастающей (рис. 124); если же мы движемся сверху вниз (спускаемся с горки), то мы объявляли функцию убывающей (рис. 125).
Однако математики не очень жалуют такой способ исследования свойств функции. Они считают, что определения понятий не должны опираться на рисунок, - чертеж должен лишь иллюстрировать то или иное свойство функции на ее графике
. Дадим строгие определения понятий возрастания и убывания функции.
Определение 1.
Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
Определение 2. Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) > f(x 2).
На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:
функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Используя эти определения и установленные в § 33 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций.
1. Линейная функция у = kx +m
Если k > 0, то функция возрастает на всей (рис. 126); если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Доказательство. Положим f(х) = kx +m. Если х 1 < х 2 и k > О, то, согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 33), kx 1 < kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линейной функции у = kx+ m.
Если же х 1 < х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 > kx 2 , а согласно свойству 2, из kx 1 > kx 2 следует, что kx 1 + m> kx 2 + т.
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2). Это и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции у = kx + m.
Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х - 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х - 3 - возрастающая
функция.
2. Функция у = х2
1. Рассмотрим функцию у = х 2 на луче . Возьмем два неположительных числа х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 > - х 2 . Так как числа - х 1 и - х 2 неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части последнего неравенства, получим неравенство того же смысла (-х 1) 2 > (-х 2) 2 , т.е. Это значит, что f(х 1) >f(х 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2).
Поэтому функция у = х 2 убывает на луче (- 00 , 0] (рис. 128).
1. Рассмотрим функцию на промежутке (0, + 00).
Пусть х1 < х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) > f(x 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) > f(x 2). Это значит, что функция убывает на открытом луче (0, + 00) (рис. 129).
2. Рассмотрим функцию на промежутке (-оо, 0). Пусть х 1 < х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 > - х 2 , причем обе части последнего неравенства - положительные числа, а потому (мы снова воспользовались неравенством, доказанным в примере 1 из § 33). Далее имеем , откуда получаем .
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) т.е. функция убывает на открытом луче (- 00 , 0)
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность.
Решение.
1) Построим график функции у = 2х 2 и возьмем ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 130).
2) Построим и выделим его часть на отрезке (рис. 131).
3) Построим гиперболу и выделим ее часть на открытом луче (4, + 00) (рис. 132).
4) Все три «кусочка» изобразим в одной системе координат - это и есть график функции у = f(x) (рис. 133).
Прочитаем график функции у = f(x).
1. Область определения функции - вся числовая прямая.
2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.
3. Функция убывает на луче (-оо, 0], возрастает на отрезке , убывает на луче , выпукла вверх на отрезке , выпукла вниз на луче , ограничена на этом отрезке;
· сумма возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией;
· если функция f возрастает (убывает) и n – нечетное число, то также возрастает (убывает);
· если f"(x)>0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является возрастающей на интервале (a,b);
· если f"(x)<0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является убывающей на интервале (a,b);
· если f(x) – непрерывная и монотонная функция на множестве Х , то уравнение f(x)=C , где С – данная константа, может иметь на Х не более одного решения;
· если на области определения уравнения f(x)=g(x) функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то уравнение не может иметь более одного решения.
Теорема. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b ] функция у = f (х ) в каждой точке интервала (а, b ) имеет положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b ].
Доказательство. Пусть >0 для всех хÎ (а,b ). Рассмотрим два произвольных значения x 2 > x 1 , принадлежащих [а, b ]. По формуле Лагранжа х 1 <с < х 2 . (с ) > 0 и х 2 – х 1 > 0, поэтому >0, откуда > , то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b ]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f (х ) имеет в этой точке экстремум, то .
Доказательство. Пусть, например, функция у = f (х ) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f (x ) < f (c ), то есть f (c ) – наибольшее значение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .
Аналогично доказывается случай минимума в точке c.
Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x 3 не имеет экстремумов, хотя ее производная =0.
Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f (x ) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.
Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале(c–e; c) функция возрастает, а на интервале (c; c+e) – убывает (при e >0). Следовательно, в точке с функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.
Замечание. Если производная не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.
Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12
возрастающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in
X\)
, таких что \(x_1 Функция называется неубывающей
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется убывающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in X\)
, таких что \(x_1 Функция называется невозрастающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in X\)
, таких что \(x_1 \(\blacktriangleright\)
Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными
, а невозрастающие и неубывающие - просто монотонными
. \(\blacktriangleright\)
Основные свойства:
I.
Если функция \(f(x)\)
- строго монотонна на \(X\)
, то из равенства \(x_1=x_2\)
(\(x_1,x_2\in X\)
) следует \(f(x_1)=f(x_2)\)
, и наоборот. Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\)
является строго возрастающей при всех \(x\in \)
, поэтому уравнение \(x^2=9\)
имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\)
. функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\)
является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\)
, поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\)
имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю. III.
Если функция \(f(x)\)
- неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \(\)
, причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\)
, то при \(C\in \)
(\(C\in
\)
) уравнение \(f(x)=C\)
всегда имеет хотя бы одно решение. Пример: функция \(f(x)=x^3\)
является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\)
, поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\)
уравнение \(x^3=C\)
имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt{C}\)
. Задание
1
#3153
Уровень задания: Легче ЕГЭ имеет ровно два корня. Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]
Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\)
. Тогда уравнение перепишется в виде: \
Исследуем функцию \(f(t)\)
. \
Следовательно, функция \(f(t)\)
возрастает при всех \(t\)
. Значит, каждому значению функции \(f(t)\)
соответствует ровно одно значение аргумента \(t\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \
Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \
Ответ:
\(\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)\)
Задание
2
#2653
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при которых уравнение \
имеет два корня. (Задача от подписчиков.)
Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\)
, \(x^2-1=u\)
. Тогда уравнение примет вид: \
Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrtw\)
. Тогда наше уравнение примет вид: \
Найдем производную \
Заметим, что при всех \(w\ne 0\)
производная \(f"(w)>0\)
, т.к. \(7^w>0\)
, \(w^6>0\)
. Заметим также, что сама функция \(f(w)\)
определена при всех \(w\)
. Т.к. к тому же \(f(w)\)
непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\)
возрастает на всем \(\mathbb{R}\)
. \
Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным: \[\begin{cases} a-1\ne 0\\
4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]
Ответ:
\((-\infty;1)\cup(1;2)\)
Задание
3
#3921
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все положительные значения параметра \(a\)
, при которых уравнение имеет как минимум \(2\)
решения. Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\)
, влево, а содержащие \(x^2\)
– вправо, и рассмотрим функцию Тогда исходное уравнение примет вид: Найдем производную: Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\)
, то \(f"(t)\geqslant 0\)
при любых \(t\in \mathbb{R}\)
. Причем \(f"(t)=0\)
, если \((t-2)^2=0\)
и \(1+\cos{2t}=0\)
одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\)
. Следовательно, \(f"(t)> 0\)
при любых \(t\in \mathbb{R}\)
. Таким образом, функция \(f(t)\)
строго возрастает при всех \(t\in
\mathbb{R}\)
. Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\)
равносильно уравнению \(ax=x^2\)
. Уравнение \(x^2-ax=0\)
при \(a=0\)
имеет один корень \(x=0\)
, а при \(a\ne 0\)
имеет два различных корня \(x_1=0\)
и \(x_2=a\)
. Ответ:
\((0;+\infty)\)
. Задание
4
#1232
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \
имеет единственное решение. Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\)
(т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\)
) и перепишем уравнение в виде: \
Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\)
при \(t\geqslant 0\)
(т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
). Производная \(y"=\left(-2^t\cdot
\log_9{(t+2)}\right)"=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left(\ln 2\cdot
\ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\)
. Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
, то \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. Следовательно, при \(t\geqslant 0\)
функция \(y\)
монотонно убывает. Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\)
, где \(z=ax,
t=\sqrt{x+1}\)
. Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\)
. Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\)
, которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases}
a^2x^2-x-1=0\\
ax \geqslant 0
\end{cases}\]
При \(a=0\)
система имеет одно решение \(x=-1\)
, которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\)
. Рассмотрим случай \(a\ne 0\)
. Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\)
при всех \(a\)
. Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\)
и \(x_2\)
, причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\)
). Это значит, что при \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\)
условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение. Значит, \(a\in \mathbb{R}\)
. Ответ:
\(a\in \mathbb{R}\)
. Задание
5
#1234
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \
имеет хотя бы один корень из отрезка \([-1;0]\)
. Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)
при некотором фиксированном \(a\)
. Найдем ее производную: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\)
. Заметим, что \(f"(x)\geqslant 0\)
при всех значениях \(x\)
и \(a\)
, причем равна \(0\)
только при \(x=a=1\)
. Но при \(a=1\)
: Значит, при всех \(a\ne 1\)
функция \(f(x)\)
является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\)
может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\)
при некотором фиксированном \(a\)
будет выглядеть следующим образом: Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\)
, необходимо: \[\begin{cases}
f(0)\geqslant 0\\
f(-1)\leqslant 0
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
a(a^2+3)\leqslant 0\\
(a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
a\leqslant 0\\
a\geqslant -2
\end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]
Таким образом, \(a\in [-2;0]\)
. Ответ:
\(a\in [-2;0]\)
. Задание
6
#2949
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]
имеет корни. (Задача от подписчиков)
ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in
\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad
\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\]
имело решения на ОДЗ. 1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&\sin x=2a+2\\
&\sin x=3\\
\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]
Данное уравнение должно иметь корни на \(\)
. Рассмотрим окружность: Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\)
уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)
уравнение имеет решения. 2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]
Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\)
. Найдем ее производную: \
На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\)
, который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\)
пересекался с прямой \(y=-a\)
(на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \
. При этих \(x\)
: Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\)
является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\)
является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\)
. Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\)
функция \(y_2\)
также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\)
– строго возрастает (константа \(3a+8\)
не влияет на монотонность функции). Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\)
при всех \(x\geqslant 1\)
представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей. Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\)
- значит найти точки пересечения функций \(f\)
и \(g\)
. Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня. При \(x\geqslant 1\)
\(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \
0 \\cup
Ответ:
\(a\in (-\infty;-1]\cup}
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\)
возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\)
. Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:
\
\
\
Нам нужно найти значения \(a\)
, при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\)
.
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\)
.
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)
уравнение \(2(x-1)^3=0\)
имеет единственный корень \(x=1\)
, не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\)
не может быть равно \(1\)
.
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\)
. Значит, схематично график \(f(x)\)
выглядит так: