Основные тригонометрические тождества. Конспект урока по математике "тригонометрические формулы"

КАРТА УРОКА «ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА»

Учащийся _______________________________________________________________________

Мои баллы: __________

Максимальное кол-во баллов – 22

18 – 22 балла - оценка «5»

15 – 17 баллов - оценка «4»

11 –14 баллов - оценка «3»

Менее 11 баллов - нужно прийти на консультацию в ближайшие дни, материал еще не усвоился.

«Краткий план»

Головатова Вера Анатольевна, преподаватель математики

ГБ ПОУ «Охтинский колледж»

Конспект двух уроков для обучающихся I курса (10кл.) по теме:

«Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла»

Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Для достижения поставленной цели необходимо:

Знать:

формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса);

знаки тригонометрических функций по четвертям;

множество значений тригонометрических функций;

основные формулы тригонометрии.

Понимать:

что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента;

алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.

Применить:

умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания;

умение работать с простыми дробями;

умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.

Анализ:

анализировать ошибки в логике рассуждения.

Синтез:

предложить свой способ решения примеров;

составить кроссворд, используя полученные знания.

Оценка:

знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.

Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.

Используемые источники:

Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.В. Сидоров и др. Просвещение, 2006.

Задания Открытого банка для подготовки к ЕГЭ по математике, 2011 г.

Ресурсы сети ИНТЕРНЕТ.

Краткий план урока:

Организационный момент.

Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке – 3-5 мин.

Актуализация знаний и умений.

Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать.

На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1 – 10 мин.

Объяснение нового материала.

Преподаватель выводит формулу для основного тригонометрического тождества – 5 мин.

Учащимся предлагается самостоятельно завершить запись примеров, выведенных на экран, проверить правильность ответов и выставить баллы в карту урока для Задания № 2 – 5 мин.

Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. На экран выводится правильный ответ, учащиеся проверяют и выставляют баллы в карту урока для Задания №3 – 5-7 мин.

Преподаватель на доске решает примеры на применение основного тригонометрического тождества. Учащиеся отвечают на вопросы преподавателя по ходу объяснения и записывают примеры себе в тетрадь – 15 мин.

Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и котангенсом, учащиеся принимают активное участие в выводе формул, отвечают на вопросы и делают записи в тетрадь – 5 мин.

Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом – 5 мин.

К доске вызываются учащиеся по желанию и с помощью преподавателя по алгоритму выполняют решение примеров. Все остальные записывают и по мере необходимости отвечают на вопросы – 10 мин.

Закрепление изученного материала

В конце урока на экран выводятся правильные ответы, учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4 – 20 мин.

Домашнее задание: Учащиеся записывают в тетрадь задание на дом – 3 мин.

Просмотр содержимого документа
«Рефлексия»

После посещения семинаров по РНС и проведении урока с использованием технологической карты мне стало очевидно, что рейтинговая система стимулирует максимально возможный интерес учащихся к конкретной теме. В моем случае – это основные формулы тригонометрии.

Тригонометрия очень часто не воспринимается учащимися не столько из-за своей сложности, сколько из-за большого количества формул, с которыми нужно уметь работать.

Трудно после одного урока, проведенного с использованием технологической карты, ожидать каких-то невероятных успехов и результатов, но мне кажется, что преимущества рейтинговой системы при изучении тригонометрии и математики в целом состоят в следующем:

появилась возможность организовать и поддерживать как работу на уроке, так и самостоятельную, систематическую работу учащихся дома;

должна повыситься посещаемость и уровень дисциплины на уроках;

повышается мотивация к учебной деятельности;

уменьшаются стрессовые ситуации при получении неудовлетворительных оценок;

стимулируется творческое отношение к работе.

Единственный недостаток РНС (как мне кажется) – это большой объем работы для преподавателя, но это работа на результат. После единственного урока, проведенного по этой системе, учащиеся постоянно спрашивают, будем ли мы еще так работать. Значит, их что-то зацепило. И нужно продолжать работать.

Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа»

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню ( перед вами задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)

1 вариант

Инструкция:

Инструкция:

Решите самостоятельно этим способом пример:

2 вариант

Указание: Для определения функции косинус воспользуйтесь формулой (3) из сегодняшнего урока. Не забудьте определить знак, который будет стоять перед корнем. Для вычисления значений тангенса и котангенса можно воспользоваться определением этих функций ил использовать формулы, которые мы вывели сегодня на уроке.

Указание. Сгруппируйте первый и третий члены выражения, вынесите за скобку общий множитель….

3 вариант

4 вариант

Просмотр содержимого презентации
«Презентация»

Повторение:

1. В какой четверти находится угол в

1 радиан и чему он примерно равен?

В I четверти, 1 рад.  57,3 °

2. Какое слово пропущено в определении функции синус?

Синусом угла  называется ………… точки единичной окружности.

ОРДИНАТА

3. Какое слово пропущено в определении функции косинус?

Косинусом угла  называется

………… точки единичной окружности.

АБСЦИССА

4. Допишите формулу:





tg



5. Определите знак произведения:

tg

6. Какое значение может принимать синус?





или

7. Вычислите:

y

B (x; y)

R

Y=sin 





O

x

x=cos 

Завершите запись:









x

y

x

y

x

x









x

y

x

y

x

x









• Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
• Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
• + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
• + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.

1 Вариант:

3 Вариант:

2.Вариант:

4 Вариант:

Открытый урок по алгебре и началам анализа по теме: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла» (10 класс)

Цель: восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала, осмысливание связей и отношений в объектах изучения

Образовательная : вывод формул зависимости между синусом и косинусом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса по заданному значению одного из них.

Развивающая : учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия, развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки

Воспитательная: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям, воспитывать у учащихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.

Здоровье-сберегающая : создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.

Знания и умения: определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса); знаков тригонометрических функций по четвертям; множества значений тригонометрических функций; основных формул тригонометрии. У мение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; работать с простыми дробями; выполнять преобразование тригонометрических выражений.

Ход урока

Организационный момент:

Проверить готовность учащихся к уроку. Открытие на компьютерах сайта учителя(Приложение 1).

Устная работа по пройденной теме : «Знаки синуса, косинуса и тангенса»

На доске:

Задание:

Расставить номера четвертей координатной плоскости и определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Самостоятельная работа по теме: «Знаки синуса, косинуса и тангенса»

Учащиеся открывают на сайте раздел «Задания к уроку по тригонометрии». Самопроверка

(Учащиеся выполняют задание №1, проверяют свои работы и оцениваю себя)

Объяснение нового материала

На доске:

х = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tg α = , α≠ …

y = … α, … ≤ sin α≤ … ctg α = , α≠ …

Задание: дописать формулы

Учитель : «Мы с вами изучили каждое понятие отдельно. Как вы считаете какую тему далее логично изучить?»

( Предполагаемый ответ: «Зависимость между этими понятиями»)

Формулируется тема урока: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла»

Учитель : «Есть несколько путей решения этой проблемы»

Используя теорему Пифагора

Учитель : «Давайте рассмотрим оба и выберем наиболее рациональный»

На доске:

Учащиеся выводят равенство cos 2 α + sin 2 α = 1

Учитель : «Мы получили равенство справедливое при любых значениях, входящих в него букв. Как называют такие равенства?»

( Предполагаемый ответ : тождества)

Учитель : «Вспомните, как называется тождество cos 2 α + sin 2 α = 1 »

Закрепление изученного материала

А) Учитель: «Откройте учебник стр.147, № 457(2;4)»(вызванные учащиеся решают у доски)

Б) Учитель: «Приступите к выполнению задания №2. Работаем по вариантам» (Обсуждение полученных результатов)

На доске:

1 вариант 2 вариант

Учитель: «В данных формулах перед корнем стоят знаки « ±» . От чего зависит какой знак ставить в формуле?»

(Предполагаемый ответ: «От того, в какой четверти расположен угол поворота точки P(1;0)»)

В) Учитель: «Приступите к выполнению задания №3». (Учащиеся решают задания, проверка на доске)

Подведение итогов урока

Учитель: «Молодцы! Итог урока мы подведем с помощью кроссворда» (Задание 4) (Учащиеся работают в парах за компьютером)

7) Рефлексия в форме анкетирования (приложение 2)

Учитель: «Сделайте вывод о своей работе на уроке, заполнив тест».

8) Домашнее задание

§25, №456, 457(1;3),460(1;3).

Доклад

Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла

На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением

• x 2 +y 2 =1.

Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:

• sin(a) = у,
• cos(a) = х.

Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство

• (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,

Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.

Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
• cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).

Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.

Например.

Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi

Воспользуемся формулой приведенной выше:

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2).

Так как pi

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2) = - √(1 – 9/25) = - 4/5.

Соотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла

Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов.

По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1.

Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим:

• tg(a) = 1/ctg(a),
• ctg(a) = 1/tg(a).

Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k.

Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом.

Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a)) 2 . (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы.

Получим следующее равенство ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 .

Разделив почленно получаем:

• 1+(tg(a)) 2 = 1/(cos(a)) 2 .

Как уже отмечалось выше, эта формула верна если cos(a) не равен нулю, то есть для всех углов а, кроме а=pi/2 +pi*k, при любом целом k.

В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Навигация по странице.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .

Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.

В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z - любое .

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.

Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .

Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .

«Теорема синусов и косинусов» - 1) Запишите теорему синусов для данного треугольника: Найдите угол В. Запишите формулу для вычисления: Теорема синусов: Найдите длину стороны ВС. Теоремы синусов и косинусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 2) Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК: Самостоятельная работа:

«Решение тригонометрических неравенств» - Все значения y на промежутке MN. 1. Строим графики функций: Остальные промежутки. Прямая y=-1/2 пересекает синусоиду в бесконечном числе точек, а тригонометрический круг - в точке А. бесконечного множества промежутков. А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx>-1/2,

«Тригонометрические формулы» - Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы сложения. По тригонометрическим функциям угла?. Формулы двойных углов. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим: Выведем вспомогательные формулы, позволяющие находить.

«Решение простейших тригонометрических неравенств» - cos x. Методы решения тригонометрических неравенств. sin x. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в аргументе тригонометрической функции. Решение простейших тригонометрических неравенств.

«Sin и cos» - Верно ли,что косинус 6,5 больше нуля? Синус 60° равен?? Верно ли что соs? х - siп? х = 1? Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса… Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Абсцисса точки на единичной окружности. Отношение косинуса к синусу…

«Теорема косинусов для треугольника» - Устная работа. Неизвестные элементы. Треугольник. Квадрат стороны треугольника. Сформулируйте теорему косинусов. Теорема. Теорема косинусов. Решение задач на клеточной бумаге. Углы и стороны. Сформулировать теорему косинусов. Задачи по готовым чертежам. Данные, указанные на рисунке.

Всего в теме 21 презентация