Принцип даламбера примеры решения. Принцип даламбера теоретической механики. Определение принципа Даламбера

Область применения принципа Даламбера – это динамика несвободных механических систем. Даламбер предложил оригинальный метод решения задач динамики, позволяющий использовать достаточно простые уравнения статики. Он писал: «Данное правило приводит все задачи, относящиеся к движению тел, к более простым задачам о равновесии».

В основу данного метода положены силы инерции. Введем это понятие.

Силой инерции называют геометрическую сумму сил противодействия движущейся материальной частицы телам, сообщающим ей ускорение.

Поясним это определение. На рис. 15.1 показана материальная частица М , взаимодей-ствующая с n материальными объектами. На рис. 15.1 показаны силы взаимодействия: без

щие на самом деле не на частицу, а на тела с массами m 1 , …, m n . Ясно, что равнодейст-вующая этой системы сходящихся сил противодействия, R ’ =ΣF’ k , по модулю равна R и направлена противоположно ускорению, т.е.: R ’ =-ma. Данная сила и является силой инерции, о которой говорится в определении. В дальнейшем будем ее обозначать буквой Ф , т.е.:

В общем случае криволинейного движения точки ускорение представляет собой сумму двух составляющих:

Из (15.4) видно, что составляющие силы инерции направлены противоположно направлениям соответствующих составляющих ускорения точки. Модули составляющих силы инерции определяют по следующим формулам:

где ρ – радиус кривизны траектории точки.

После определения силы инерции рассмотрим принцип Даламбера .

Пусть дана механическая система, состоящая из n материальных точек (рис. 15.2). Возьмем одну из них. Все силы, действующие на k -ю точку, классифицируем по группам:

Выражение (15.6) отражает сущность принципа Даламбера, записанного для одной мате-риальной точки. Повторяя проделанные выше действия по отношению к каждой точке механической системы, можно записать систему n уравнений, подобных (15.6), что и будет являться математической записью принципа Даламбера применительно к механи-ческой системе. Таким образом, сформулируем принцип Даламбера для механической системы:

Если к каждой точке механической системы в любой момент времени, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующую силу инерции, то вся система сил будет приведена в равновесное состояние и к ней можно будет применять все уравнения статики.

Следует иметь в виду:

Принцип Даламбера можно применять для динамических процессов, протекающих в

инерциальных системах отсчета. Этого же требования, как отмечалось ранее, следует придерживаться и при применении законов динамики;

Силы инерции, которые, согласно методики принципа Даламбера, необходимо прило-

жить к точкам системы, на самом деле на них не действуют. Действительно, если бы они существовали, то вся совокупность сил, приложенных к каждой точке, находилась бы в равновесии, и отсутствовала бы сама постановка задачи динамики.

Для равновесной системы сил можно записать следующие уравнения:

т.е. геометрическая сумма всех сил системы, включая и силы инерции, и геометрическая сумма моментов всех сил относительно произвольного центра равны нулю.

Учитывая свойства внутренних сил системы:

выражения (15.7) можно заметно упростить.

Вводя обозначения главного вектора

и главного момента

выражения (15.7) предстанут в виде:

Уравнения (15.11) являются прямым продолжением принципа Даламбера, но не содержат внутренних сил, что является их несомненным преимуществом. Их использование наиболее эффективно при исследовании динамики механических систем, состоящих из твердых тел.

Принцип Даламбера позволяет сформулировать задачи динамики механических систем как задачи статики. При этом динамическим дифференциальным уравнениям движения придают вид уравнений равновесия. Такой метод называют методом кинетостатики .

Принцип Даламбера для материальной точки: «В каждый момент времени движения материальной точки, фактически действующие на нее активные силы, реакции связей и условно приложенная к точке сила инерции образуют уравновешенную систему сил »

Силой инерции точки называют векторную величину, имеющую размерность силы, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно вектору ускорения

. (3.38)

Рассматривая механическую систему как совокупность материальных точек, на каждую из которых действуют, согласно принципу Даламбера, уравновешенные системы сил, имеем следствия из этого принципа применительно к системе. Главный вектор и главный момент относительно любого центра приложенных к системе внешних сил и сил инерции всех ее точек равны нулю:

(3.39)

Здесь внешними силами являются активные силы и реакции связей.

Главный вектор сил инерции механической системы равен произведению массы системы на ускорение ее центра масс и направлен в сторону, противоположную этому ускорению

. (3.40)

Главный момент сил инерции системы относительно произвольного центра О равен взятой с обратным знаком производной по времени от кинетического момента ее относительно того же центра

. (3.41)

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz , найдем главный момент сил инерции относительно этой оси

. (3.42)

3.8. Элементы аналитической механики

В разделе «Аналитическая механика» рассматривают общие принципы и аналитические методы решения задач механики материальных систем.

3.8.1.Возможные перемещения системы. Классификация

некоторых связей

Возможными перемещениями точек
механической системы называют любые воображаемые, бесконечно малые их перемещения, допускаемые наложенными на систему связями, в фиксированный момент времени. По определению, числом степеней свободы механической системы называют число ее независимых возможных перемещений.

Связи, наложенные на систему, называют идеальными , если сумма элементарных работ их реакций на любом из возможных перемещений точек системы равна нулю

. (3. 43)

Связи, для которых налагаемые ими ограничения сохраняются при любом положении системы, называют удерживающими . Связи, не изменяющиеся во времени, в уравнения которых явно не входит время, называют стационарными . Связи, ограничивающие только перемещения точек системы, называют геометрическими , а ограничивающие скорости – кинематическими . В дальнейшем будем рассматривать только геометрические связи и те кинематические, которые могут быть путем интегрирования сведены к геометрическим.

3.8.2. Принцип возможных перемещений

Для равновесия механической системы с удерживающими идеальными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы

сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на нее, на любых возможных перемещениях системы была равна нулю

. (3.44)

В проекциях на оси координат:

. (3.45)

Принцип возможных перемещений позволяет установить в общей форме условия равновесия любой механической системы, не рассматривая равновесие отдельных ее частей. При этом учитываются только действующие на систему активные силы. Неизвестные реакции идеальных связей в эти условия не входят. Вместе с тем данный принцип позволяет определять неизвестные реакции идеальных связей путем отбрасывания этих связей и введения их реакций в число активных сил. При отбрасывании связей, реакции которых необходимо определить, система приобретает дополнительно соответствующее число степеней свободы.

Пример 1 . Найти зависимость между силами идомкрата, если известно, что при каждом повороте рукояткиАВ = l , винт С выдвигается на величину h (рис. 3.3).

Решение

Возможные перемещения механизма – это поворот рукоятки  и перемещение груза h . Условие равенства нулю элементарных работ сил:

Pl  – Q h = 0;

Тогда
. Так какh  0, то

3.8.3. Общее вариационное уравнение динамики

Рассмотрим движение системы, состоящей из n точек. На нее действуют активные силы и реакции связей .(k = 1,…,n ) Если к действующим силам добавить силы инерции точек
, то, согласно принципу Даламбера, полученная система сил будет находиться в равновесии и, следовательно, справедливо выражение, записанное на основе принципа возможных перемещений (3.44):

. (3.46)

Если все связи идеальные, то 2-я сумма равна нулю и в проекциях на оси координат равенство (3.46) будет выглядеть следующим образом:

Последнее равенство представляет собой общее вариационное уравнение динамики в проекциях на оси координат, которое позволяет составить дифференциальные уравнения движения механической системы.

Общее вариационное уравнение динамики – это математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа : «При движении системы, подчиненной стационарным, идеальным, удерживающим связям, в каждый данный момент времени сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к системе, и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю ».

Пример 2 . Для механической системы (рис. 3.4), состоящей из трех тел определить ускорение груза 1 и натяжение троса 1-2, если: m 1 = 5m ; m 2 = 4m ; m 3 = 8m ; r 2 = 0,5R 2 ; радиус инерции блока 2 i = 1,5r 2 . Каток 3 представляет собой сплошной однородный диск.

Решение

Изобразим силы, которые совершают элементарную работу на возможном перемещении s груза 1:

Запишем возможные перемещения всех тел через возможное перемещение груза 1:

Выразим линейные и угловые ускорения всех тел через искомое ускорение груза 1 (отношения такие же, как и в случае возможных перемещений):

.

Общее вариационное уравнение для данной задачи имеет вид:

Подставляя полученные ранее выражения для активных сил, сил инерции и возможных перемещений, после несложных преобразований получим

Так как s  0, следовательно, равно нулю выражение в скобках, содержащее ускорение а 1 , откуда a 1 = 5g /8,25 = 0,606g .

Для определения натяжения троса, удерживающего груз, освободим груз от троса, заменив действие его искомой реакцией . Под действием заданных сил ,и приложенной к грузу силы инерции
он находится в равновесии. Следовательно, к рассматриваемому грузу (точке) применим принцип Даламбера, т.е. запишем, что
. Отсюда
.

3.8.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода

Обобщенные координаты и обобщенные скорости . Любые независимые между собой параметры, однозначно определяющие положение механической системы в пространстве, называют обобщенными координатами . Эти координаты, обозначаемые q 1 ,....q i , могут иметь любую размерность. В частности, обобщенные координаты могут быть перемещениями или углами поворота.

Для рассматриваемых систем число обобщенных координат равно числу степеней свободы. Положение каждой точки системы является однозначной функцией обобщенных координат

Таким образом, движение системы в обобщенных координатах определяется следующими зависимостями:

Первые производные от обобщенных координат называют обобщенными скоростями :
.

Обобщенные силы. Выражение для элементарной работы силы на возможном перемещении
имеет вид:

.

Для элементарной работы системы сил запишем

Используя полученные зависимости, это выражение можно записать в виде:

,

где обобщенная сила, соответствующая i -й обобщенной координате,

. (3.49)

Таким образом, обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате, является коэффициент при вариации этой координаты в выражении суммы элементарных работ активных сил на возможном перемещении системы. Для вычисления обобщенной силы необходимо сообщить системе возможное перемещение, при котором изменяется только обобщенная координата q i . Коэффициент при
и будет искомой обобщенной силой.

Уравнения движения системы в обобщенных координатах . Пусть дана механическая система с s степенями свободы. Зная действующие на нее силы, необходимо, составить дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах
. Применим процедуру составления дифференциальных уравнений движения системы – уравнений Лагранжа 2-го рода – по аналогии вывода этих уравнений для свободной материальной точки. Исходя из 2-го закона Ньютона, запишем

Получим аналог этим уравнениям, используя запись для кинетической энергии материальной точки,

Частная производная от кинетической энергии по проекции скорости на ось
равна проекции количества движения на эту ось, т.е.

Чтобы получить необходимые уравнения, вычислим производные по времени:

Полученная система уравнений является уравнениями Лагранжа 2-го рода для материальной точки.

Для механической системы уравнения Лагранжа 2-го рода представим в виде уравнений, в которых вместо проекций активных сил P x , P y , P z используют обобщенные силы Q 1 , Q 2 ,...,Q i и учитывают в общем случае зависимость кинетической энергии от обобщенных координат.

Уравнения Лагранжа 2-го рода для механической системы имеют вид:

. (3.50)

Их можно использовать для изучения движения любой механической системы с геометрическими, идеальными и удерживающими связями.

Пример 3 . Для механической системы (рис. 3.5), данные для которой приведены в предыдущем примере, составить дифференциальное уравнение движения, используя уравнение Лагранжа 2-го рода,

Решение

Механическая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем линейное перемещение груза q 1 = s ; обобщенная скорость – . С учетом этого запишем уравнение Лагранжа 2-го рода

.

Составим выражение для кинетической энергии системы

.

Выразим все угловые и линейные скорости через обобщенную скорость:

Теперь получим

Вычислим обобщенную силу, составив выражение элементарной работы на возможном перемещении s всех действующих сил. Без учета сил трения работу в системе производит только сила тяжести груза 1
Запишем обобщенную силу при s , как коэффициент в элементарной работе Q 1 = 5mg . Далее найдем

Окончательно дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид:

При движении материальной точки её ускорение в каждый момент времени таково, что приложенные к точке заданные (активные) силы, реакции связей и фиктивная Даламберова сила Ф = - та образуют уравновешенную систему сил.

Доказательство. Рассмотрим движение несвободной материальной точки массой т в инерциальной системе отсчета. Согласно основному закону динамики и принципу освобождения от связей имеем:

где F - равнодействующая заданных (активных) сил; N - равнодействующая реакций всех наложенных на точку связей.

Нетрудно преобразовать (13.1) к виду:

Вектор Ф = - та называют Даламберовой силой инерции, силой инерции или просто Даламберовой силой. Далее будем использовать только последний термин.

Уравнение (13.3), выражающее принцип Даламбера в символьной форме, называют уравнением кинетостатики материальной точки.

Легко получить обобщение принципа Даламбера для механической системы (системы п материальных точек).

Для любой к -й точки механической системы выполняется равенство (13.3):

где ? к - равнодействующая заданных (активных) сил, действующих на к -ю точку; N к - равнодействующая реакций связей, наложенных на к-ю точку; Ф к = - та к - Даламберова сила к -й точки.

Очевидно, что если условия уравновешенности (13.4) выполняются для каждой тройки сил F*, N* : , Ф* (к = 1,. .., п ), то и вся система 3п сил

является уравновешенной.

Следовательно, при движении механической системы в каждый момент времени приложенные к ней активные силы, реакции связей и Даламберовы силы точек системы образуют уравновешенную систему сил.

Силы системы (13.5) уже не являются сходящимися, поэтому, как известно из статики (п. 3.4), необходимые и достаточные условия её уравновешенности имеют следующий вид:

Уравнения (13.6) называют уравнениями кинетостатики механической системы. Для расчетов используют проекции этих векторных уравнений на оси, проходящие через моментную точку О.

Замечание 1. Поскольку сумма всех внутренних сил системы, а также сумма их моментов относительно любой точки равны нулю, то в уравнениях (13.6) достаточно учитывать лишь реакции внешних связей.

Уравнения кинетостатики (13.6) обычно используют для определения реакций связей механической системы, когда движение системы задано, а поэтому ускорения точек системы и зависящие от них Далам- беровы силы известны.

Пример 1. Найти реакции опор А и В вала при его равномерном вращении с частотой 5000 об/мин.

С валом жестко связаны точечные массы гп = 0,1 кг, т 2 = 0,2 кг. Известны размеры АС - CD - DB = 0,4 м, h = 0,01 м. Массу вала считать пренебрежимо малой.

Решение. Чтобы воспользоваться принципом Даламбера для механической системы, состоящей из двух точечных масс, укажем на схеме (рис. 13.2) заданные силы (силы тяжести) Gi, G 2 , реакции связей N4, N# и Даламберовы силы Ф|, Ф 2 .

Направления Даламбсровых сил противоположны ускорениям точечных масс т ь т 2у которые равномерно описывают окружности радиуса h вокруг оси АВ вала.

Находим величины сил тяжести и Даламбсровых сил:

Здесь угловая скорость вала со- 5000* л/30 = 523,6 с Проецируя уравнения кинетостатики (13.6) на декартовы оси Ах, Ay , Az , получим условия уравновешенности плоской системы параллельных сил Gi, G 2 , 1Чд, N tf , Ф ь Ф 2:

Из уравнения моментов находим N в = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w „

272 Н, а из уравнения проекции на

ось Ay: N a = -N B +G,+G 2 +Ф,-Ф 2 = 272 + 0,98 +1,96 + 274-548 =0,06 Н.

Уравнения кинетостатики (13.6) можно использовать и для получения дифференциальных уравнений движения системы, если составить их так, что реакции связей исключаются и в результате появляется возможность получить зависимости ускорений от заданных сил.

В предыдущих лекциях рассматривались способы решения задач динамики, основанные на законах Ньютона. В теоретической механике разработаны и другие способы решения динамических задач, в основе которых лежат некоторые иные исходные положения, называемые принципами механики.

Важнейшим из принципов механики является принцип Даламбера. С принципом Даламбера тесно связан метод кинетостатики - способ решения задач динамики, в котором динамические уравнения записываются в форме уравнений равновесия. Метод кинетостатики широко применяется в таких общеинженерных дисциплинах, как сопротивление материалов, теория механизмов и машин, в других областях прикладной механики. Принцип Даламбера результативно используется и внутри самой теоретической механики, где с его помощью созданы эффективные способы решения задач динамики.

Принцип Даламбера для материальной точки

Пусть материальная точка массы совершает несвободное движение относительно инерциальной системы координат Oxyz под действием активной силы и реакции связи R (рис. 57).

Определим вектор

численно равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения. Вектор имеет размерность силы и называется силой инерции (даламберовой) материальной точки.

Принцип Даламбера для материальной точки сводится к следующему утверждению: если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить силу инерции точки, то получим уравновешенную систему сил, т. е.

Вспоминая из статики условие равновесия сходящихся сил, принцип Даламбера можем записать также в следующей форме:

Легко видеть, что принцип Даламбера эквивалентен основному уравнению динамики, и наоборот, из основного уравнения динамики следует принцип Даламбера. Действительно, перенося в последнем равенстве вектор в другую часть равенства и заменяя на , получаем основное уравнение динамики. Наоборот, перенося в основном уравнении динамики член та в одну сторону с силами и используя обозначение , получаем запись принципа Даламбера.

Принцип Даламбера для материальной точки, будучи вполне эквивалентным основному закону динамики, выражает этот закон в совершенно иной форме - в форме уравнения статики. Это дает возможность пользоваться при составлении уравнений динамики методами статики, что и называется методом кинетостатики.

Метод кинетостатики особенно удобен при решении первой задачи динамики.

Пример. Из наивысшей точки гладкого сферического купола радиуса R соскальзывает материальная точка М массы с пренебрежимо малой начальной скоростью (рис. 58). Определить, в каком месте точка сойдет с купола.

Решение. Точка будет двигаться по дуге некоторого меридиана . Пусть в некоторый (текущий) момент радиус ОМ составляет с вертикалью угол . Раскладывая ускорение точки а на касательное ) и нормальное представим силу инерции точки также в виде суммы двух составляющих:

Касательная составляющая силы инерции имеет модуль и направлена противоположно касательному ускорению, нормальная составляющая - модуль и направлена противоположно нормальному ускорению.

Добавляя эти силы к фактически действующим на точку активной силе и реакции купола N, составляем уравнение кинетостатики

Определение 1

Принцип Даламбера является в теоретической механике одним из главных принципов динамики. Согласно этому принципу, при условии присоединения силы инерции к активно действующим на точки механической системы силам и реакциям наложенных связей, получается уравновешенная система.

Данный принцип получил название в честь французского ученого Ж. Даламбера, впервые предложившего его формулировку в своем сочинении «Динамика».

Определение принципа Даламбера

Замечание 1

Принцип Даламбера звучит следующим образом: если к воздействующей на тело активной силе прикладывается дополнительная сила инерции, тело будет пребывать в равновесном состоянии. При этом суммарное значение всех действующих в системе сил, дополненное вектором инерции, получит нулевое значение.

Согласно указанному принципу, в отношении каждой i-той точки системы, становится верным равенство:

$F_i+N_i+J_i=0$, где:

• $F_i$ -активно воздействующая на эту точку сила,
• $N_i$ - реакция связи, наложенной на точку;
• $J_i$ - сила инерции, определяемая формулой $J_i=-m_ia_i$ (она направлена противоположно этому ускорению).

Фактически, отдельно для каждой рассматриваемой материальной точки $ma$ переносится справа налево (второй закон Ньютона):

$F=ma$, $F-ma=0$.

$ma$ при этом называется силой инерции Даламбера.

Такое понятие, как сила инерции, было введено еще Ньютоном. Согласно рассуждениям ученого, при условии движения точки под воздействием силы $F=ma$, тело (или система) – становится источником этой силы. При этом, согласно закону о равенстве действия и противодействия, ускоряемая точка будет влиять на ускоряющее ее тело с силой $Ф=-ma$. Такой силе Ньютон дал название системы инерции точки.

Силы $F$ и $Ф$ будут равными и противоположными, но приложенными к разным телам, что исключает их сложение. Непосредственно на точку сила инерции воздействия не оказывает, поскольку для нее она представляет фиктивную силу. При этом точка оставалась бы в состоянии покоя, если бы, помимо силы $F$, на точку оказывала воздействие еще и сила $Ф$.

Замечание 2

Принцип Даламбера позволяет применять при решении задач динамики более упрощенные методы статики, что объясняет его широкое применение в инженерной практике. На этом принципе основывается метод кинетостатики. Особенно он удобен в применении с целью установления реакций связей в ситуации, когда известен закон происходящего движения или он получен при решении соответствующих уравнений.

Разновидностью принципа Даламбера выступает принцип Германа-Эйлера, фактически представлявшего собой форму данного принципа, но обнаруженную до появления публикации сочинения ученого в 1743 году. При этом принцип Эйлера не рассматривался его автором (в отличие от принципа Даламбера) в качестве основы для общего метода решения задач движения механических систем со связями. Принцип Даламбера считается более целесообразным в применении в случае необходимости определения неизвестных сил (для решения первой задачи динамики).

Принцип Даламбера для материальной точки

Многообразие типов решаемых в механике задач нуждается в разработке эффективных методик составления уравнений движения для механических систем. Одним из подобных методов, позволяющих посредством уравнений описать движение произвольных систем, считается в теоретической механике принцип Даламбера.

Опираясь на второй закон динамики, для несвободной материальной точки запишем формулу:

$m\bar{a}=\bar{F}+\bar{R}$,

где $R$ представляет реакцию связи.

Принимая значение:

$\bar{Ф}=-m\bar{a}$, где $Ф$- сила инерции, получаем:

$\bar{F}+\bar{R}+\bar{Ф}=0$

Эта формула является выражением принципа Даламбера для материальной точки, согласно которому, для движущейся в любой момент времени точки геометрическая сумма воздействующих на нее активных сил и силы инерции получает нулевое значение. Этот принцип позволяет записывать уравнения статики для движущейся точки.

Принцип Даламбера для механической системы

Для состоящей из $n$-точек механической системы, можно записать $n$-уравнений вида:

$\bar{F_i}+ \bar{R_i}+\bar{Ф_i}=0$

При суммировании всех этих уравнений и введении следующих обозначений:

которые являются главными векторами внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно, получаем:

$\sum{F_i}+\sum{R_i}+\sum{Ф_i}=0$, т. е.

$FE + R + Ф = 0$

Условием для равновесного состояния твердого тела является нулевое значение главных вектора и момента действующих сил. Учитывая это положение и теорему Вариньона о моменте равнодействующей в результате запишем такое соотношение:

$\sum{riF_i}+\sum{riR_i}+\sum{riФ_i} = 0$

примем следующие обозначения:

$\sum{riF_i}=MOF$

$\sum{riR_i}=MOR$

$\sum{riФ_i}=MOФ$

главные моменты внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно.

В итоге получаем:

$\bar{F^E}+\bar{R}+\bar{Ф}=0$

$\bar{M_0^F}+\bar{M_0^R}+\bar{M_0^Ф}=0$

Эти две формулы являются выражением принципа Даламбера для механической системы. В любой момент времени для движущейся механической системы геометрическая сумма главного вектора реакций связей, внешних сил, и сил инерции получает нулевое значение. Также нулевой будет и геометрическая сумма главных моментов от сил инерции, внешних сил и реакций связей.

Полученные формулы являются дифференциальными уравнениями второго порядка из-за присутствия в каждом из них ускорения в силах инерции (второй производной закона движения точки).

Принцип Даламбера позволяет решать методами статики задачи динамики. Для механической системы можно записывать уравнения движения в виде уравнений равновесия. Из таких уравнений можно определить неизвестные силы, в частности, реакции связей (первая задача динамики).