В июле планируется взять кредит в банке, на сколько лет был взят кредит 

К 2024 году в России планируется построить 210 комплексов по обработке и утилизации твердых коммунальных отходов (ТКО). О таких планах рассказали «Известиям» в Минпромторге. Это поможет решить проблему мусорных полигонов и наладить переработку в России 60% всего объема мусора. Строить заводы планируется в рамках государственно-частного партнерства, до 30% стоимости проектов могут профинансировать из госбюджета, отметили в ведомстве. Основные инвестиции вернутся за счет роста тарифов для населения. Но в Минприроды следят за тем, чтобы общая платежка за ЖКХ не увеличилась для граждан более чем на 4%.

Одним из последних громких инцидентов стал коллапс в Челябинске, когда из-за скопления отходов на городских улицах власти были вынуждены ввести режим ЧС. Частные перевозчики просили повысить тарифы на вывоз мусора. Но руководство города им отказывало, ссылаясь на то, что скоро начнет работать региональный оператор, который сам установит расценки. С мусорной проблемой ранее столкнулись и подмосковные города, например, Волоколамск, Клин, Коломна, жители которых после закрытия свалки «Кучино» под Балашихой требовали решить вопрос и с их полигонами.

Мусорная реформа

Для создания в стране отрасли по переработке мусора правительство подготовило федеральный проект «Формирование комплексной системы обращения с твердыми коммунальными отходами». Он предусматривает создание мощностей для предварительной обработки 36,7 млн т ТКО и дальнейшей утилизации (вторичной переработки) 23 млн т отходов в год. «Для этого предполагается построить около 210 объектов как по сортировке, так и по комплексной переработке, включающей утилизацию и обезвреживание», - сообщили «Известиям» в пресс-службе Минпромторга.

Во время прямой линии в июне президент России Владимир Путин заявил о необходимости построить около 200 заводов в ближайшие годы. Сейчас на сортировку направляется около 5% ТКО, а из этого объема во вторичное использование попадает не более 10%. Существующие мощности по обработке отходов составляют лишь 5 млн т в год.

Финансировать затраты на создание отрасли мусоропереработки будут в рамках государственно-частного партнерства. Модель планируется реализовать за счет концессий и субсидирования затрат на лизинг оборудования и проектирование объектов. Курировать процесс будет единый оператор - публично-правовая компания в сфере обращения с отходами, она сейчас создается. Профильные министерства согласовали предложение и представили его премьер-министру Дмитрию Медведеву, который идею поддержал, сказали в Минпромторге. Как стало известно ранее, компания-интегратор, которая будет сопровождать управление отраслью в рамках «мусорной реформы», должна появиться до конца года.

По мнению участников рынка, государственная поддержка в виде 30-процентного софинансирования затрат на строительство и оборудование обеспечит часть инвестиций. Участие государства в реализации проектов в отрасли переработки отходов является достаточной гарантией для банковских структур при принятии решений о кредитовании мусоропереработчиков, - подчеркнули в Минпромторге. Там добавили, что расходы федерального бюджета на строительство современной инфраструктуры по обращению с ТКО через 10 лет полностью возвращаются в виде налогов.

Как отметили в Минприроды, на реализацию проекта планируется направить 78 млрд рублей.

Сегодня отрасль только создается. Современных технологически развитых объектов, которые позволяют осуществлять глубокую обработку отходов, выделять полезные компоненты для использования во вторичном производстве, не так много, - подчеркнули в Минприроды. Объекты должны появиться во всех российских субъектах.

Вклад граждан

Как пояснили в Минпромторге, региональный оператор строит сортировочные комплексы из своих средств и компенсирует эти затраты из тарифа населению. С 1 января 2019 года все субъекты страны должны перейти на новую систему обращения с отходами. В Минприроды заверили, что внимательно следят за тем, чтобы суммы в платежках граждан за все коммунальные услуги в результате «мусорной реформы» не увеличились более чем на 4%.

По информации ведомства, сегодня максимальные тарифы на услуги региональных операторов установлены на Чукотке (от 712 до 2023 рублей за куб. м). Здесь граждане заплатят от 71 до 202 рублей в месяц. В Камчатском крае тариф составляет от 445 до 929,4 рубля за куб. м. Соответственно, платеж для жителя многоэтажки установится на уровне от 99,04 до 119,90 рубля в месяц, частного дома - от 97,7 до 114,3 рубля. Тариф в Ставропольском крае составляет 694,5 рубля за куб. м с учетом НДС. Расценки для проживающих в многоквартирном доме - от 116,95 до 119,95 рубля, в частном - от 116,95 до 124,43 рубля. Минимальный тариф на услугу регионального оператора установлен в Новгородской области - 343,81 рубля за куб. м, ежемесячный платеж для всех граждан составит 59,74 рубля.

По словам председателя комитета ТПП РФ по предпринимательству в сфере ЖКХ Андрея Широкова, на возведение новых заводов понадобится «не один триллион рублей». Например, в Берлине строительство предприятия, которое перерабатывает только пакеты, обошлось примерно в €10–15 млн, сказал он.

Исполнительный директор ассоциации «Чистая страна» Руслан Губайдуллин отметил, что стоимость сортировочного завода в Тюмени, введенного в эксплуатацию в августе, составила 1,7 млрд рублей. Его годовая мощность - 350 тыс. т мусора. Завод в Нижнем Новгороде мощностью около 470 тыс. т обошелся в 1,2 млрд рублей. По мнению эксперта, сегодня государство планирует оказать отрасли беспрецедентную бюджетную и политическую поддержку.

Единый государственный экзамен, 2015 г.

Математика, 11 класс

1 cos x

2sin 2x

15. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2 ;

Ответ: а)

k , 2 n ,

2 m ,

k, n, m Z б)

16. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 30, а боковое ребро SA равно 28. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость делит медиану основания СЕ в отношении 5:1, считая от точки С.

б) Найдите расстояние от вершины А доплоскости.

Ответ: 2

17. Решите неравенство:

log2 2 x 2log2 x 2 11log2 2 x 22log2 x 24

Ответ: 1 4 , 1 2 ; 8;16

18. Точка М лежит на стороне ВС выпуклого четырехугольника ABCD, причем В и С – вершины равнобедренных треугольников с основаниями АМ и DM соответственно, а прямые АМ и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах В и С четырехугольника ABCD пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N – точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что ВМ:МС=1:3, а площадь четырехугольника, стороны которого лежат на прямых АМ, DM, BN и CN, равна 18.

Ответ: 96.

23.06.14 Образец варианта Часть С

19. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x

тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5 x 2 2 x 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в

млн рублей) за один год составит px 0,5 x 2 2 x 6 . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более, чем за3 года?

Ответ: p 10

20. Найдите все значения a , при каждом из которых система

y2 x 2 x2 x 2

имеет более двух решений

Ответ: a 0; 2 a 1 10

21. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600000 рублей (размер премии каждого сотрудника – целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на70 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Ответ: а) да; б) нет; в) 26

Дайджест региональных инвестиционных новостей

ЛУЧШАЯ ИНВЕСТНОВОСТЬ

Немецкий концерн BASF запустил в Краснодаре производство добавок в бетон, объем инвестиций компании составил около 2 млн евро, мощность завода превышает 5000 тонн продукции в год. Технологический цикл нового предприятия будет практически полностью построен на использовании российского сырья, а производство - экологически чистым и безотходным.

Подробнее

ИНВЕСТИЦИОННАЯ ПОЛИТИКА

На развитие аграрной отрасли Дона будет направлено 35 млрд рублей до 2030 года

Областная государственная программа «Развитие сельского хозяйства и регулирование рынков сельскохозяйственной продукции, сырья и продовольствия» была утверждена на заседании регионального правительства. Программа разработана на 2019-2030 годы и направлена на обеспечение развития отраслей агропромышленного комплекса Ростовской области , а также устойчивого развития сельских территорий.

Подробнее

Александр Никитин заключил четырехстороннее соглашение с фондом «Сколково» , агрохолдингом «АСБ» и АНО Центр компетенции по цифровизации АПК. В Тамбовской области идет реализация масштабного проекта по созданию первой в стране цифровой платформы в агропромышленном комплексе. Подписанное соглашение предусматривает дальнейшую совместную работу, в частности, по созданию одного из первых в стране бизнес-акселераторов в сфере цифровизации АПК.

Подробнее

Почти 70 миллионов рублей перечислено производителям хлеба в НАО с начала 2018 года

Субсидии на частичное возмещение затрат при производстве и доставке хлеба основных сортов предоставляются организациям безвозмездно. Средства на компенсацию расходов предусмотрены в бюджете Ненецкого округа. Данным видом государственной поддержки пользуются все 18 производителей хлеба региона. Всего на поддержку пекарей в текущем году в казне предусмотрено 78,7 млн рублей. Субсидия предоставляется с целью обеспечения населения хлебом по доступной цене.

Подробнее

ПРОМЫШЛЕННОСТЬ

Костромской силикатный завод реализовал инвестиционный проект по модернизации производства

Реализация инвестиционного проекта по модернизации производства позволила увеличить качество выпускаемой продукции, обеспечить потребность строительного рынка региона силикатным кирпичом и другими строительными материалами более высокого качества. Об этом главе региона Сергею Ситникову рассказал генеральный директор Костромского силикатного завода Михаил Смирнов в ходе посещения предприятия. Костромской силикатный завод специализируется на производстве строительных материалов: силикатного кирпича, блоков из ячеистого бетона, элементов мощения, сухих строительных смесей. Всего порядка 100 наименований. Продукцию производят четыре крупных цеха с максимальной мощностью 100 млн единиц ежегодно.

Подробнее

На территории опережающего социально-экономического развития (ТОСЭР) «Лесной» Рязанской области появился второй резидент

Минэкономразвития России одобрило заявку Правительства Рязанской области о включении ООО «Лесновская мануфактура» в реестр резидентов ТОСЭР. ООО «Лесновская мануфактура» планирует к реализации проект по открытию производства школьного мела с объемом инвестиций 10 млн рублей.

Подробнее

В соответствии с решением Минэкономразвития России первым резидентом территории опережающего социально-экономического развития «Саянск» стала компания ООО «Ирпласт». Предприятие планирует реализацию проекта по производству крупногабаритных пластиковых емкостей. Это позволит привлечь 13,7 млн рублей инвестиций.

Подробнее

Обеспечению Волгоградской области лидирующих позиций в производстве подсолнечного масла, реализации экспортного потенциала в сфере сельского хозяйства будет способствовать работа нового современного завода «Каргилл Новоаннинский». Глава региона Андрей Бочаров , заместитель министра сельского хозяйства Оксана Лут , вице-президент компании «Каргилл» Роджер Янсон оценили итоги этого проекта. Открытие нового завода обеспечит выполнение стратегической задачи - полную переработку семян подсолнечника внутри региона

Подробнее

Предприятие ежегодно оно будет выпускать 25 миллионов мальков кеты. Инициатор создания лососевого рыборазводного завода - компания «Каниф» строит его на собственные средства при областной поддержке. Это будет уже третье подобное предприятие, построенное в Невельском районе частным инвестором.

Подробнее

В апреле 2019 года в Болховском районе Орловской области планируется ввести в эксплуатацию модернизированный молочный комплекс ООО «Юпитер»

В рамках реализации областной программы «Развитие молочного скотоводства в Орловской области» с целью увеличения производственных мощностей в ООО «Юпитер» идет реализация инвестиционного проекта по модернизации молочного комплекса. В проект входит строительство коровника на 500 голов, молочного блока и реконструкция родильного отделения, покупка техники и племенного поголовья нетелей, строительство склада для хранения кормов. Общая стоимость проекта составляет 257,8 млн рублей.

Подробнее

ТЭК Железные дороги Якутии увеличили мощность солнечной электростанции на ст. Кердем

В полном объеме завершены работы по увеличению мощности солнечной электростанции до 36 кВт/ч на железнодорожной станции Кердем. Она обеспечивает электрической энергией станцию Кердем в период с апреля по октябрь в полном объеме. В остальные месяцы, с меньшей солнечной активностью, работа осуществляется параллельно с дизельной электростанцией.

Подробнее

ТРАНСПОРТ И СВЯЗЬ

В Республике Татарстан открыли движение по обновленному участку автодороги М7 «Волга»

В церемонии торжественного открытия трёх участков автомобильной дороги М-7 «Волга» от Казани до Набережных Челнов приняли участие президент Республики Татарстан Рустам Минниханов , помощник президента России Игорь Левитин , руководитель Федерального дорожного агентства (Росавтодор) Андрей Костюк . Общая протяженность участка автодороги от Казани до Набережных Челнов составляет 220 км. Открытием трёх участков протяженностью 32 км завершается реконструкция автодороги Казань - Набережные Челны.

Подробнее

СТРОИТЕЛЬСТВО И НЕДВИЖИМОСТЬ

Водно-оздоровительный комплекс и «четырехзвездный» отель с видом на горнолыжные трассы строятся на Сахалине

Водно-оздоровительный комплекс с гостиницей на 80 номеров строит в Южно-Сахалинске резидент ТОР «Горный воздух» - компания «Вектор». Инвестиционный проект стоимостью более 1,8 миллиарда рублей реализуется по соглашению с АО «Корпорация развития Дальнего Востока». Ввод объекта в эксплуатацию планируется в конце 2019 года. На сегодняшний день выполнено строительство трехэтажного здания общежития для персонала, построены три из пяти планируемых этажей гостиницы, начато возведение железобетонных конструкций водно-оздоровительного комплекса, в завершающей стадии парковка для автомобилей, также завершен монтаж сетей водоснабжения и канализации. Осуществлено инвестиций более 933 миллиона рублей.

Подробнее

За три квартала 2018 года в Томской области выдано 1816 разрешений на строительство

Это на 6,26% больше показателя 2017 года (1708). С начала года на возведение новых объектов строители оформили 1644 разрешений и 172 - на реконструкцию. В сентябре компаниям и частным застройщикам Томской области выдано 166 разрешений, из них 155 на новые объекты, 11 - на реконструкцию.

Подробнее

ИНФРАСТРУКТУРА И ЖКХ На Сахалине завершено строительство очередного объекта инфраструктуры ТОР «Южная»

Новый напорный коллектор в селе Троицкое Анивского района обеспечит транспортировку сточных вод от канализационной насосной станции на производственной площадке ООО «Грин Агро - Сахалин» до очистных сооружений. В ходе строительно-монтажных работ, которые длились пять месяцев, проложены два полиэтиленовых трубопровода протяжённостью более двух километров. В настоящее время объект стоимостью 21,1 миллиона рублей готовят к вводу в эксплуатацию. В ТОР «Южная» также продолжается реконструкция очистных сооружений. Финансирование строительства инфраструктурных объектов ведется из бюджета Сахалинской области. Только в этом году на данные цели направлено 343,2 миллиона рублей.

Подробнее

Около 1,5 млрд рублей планируется направить на развитие объектов водоснабжения и очистных сооружений в Иркутской области в 2019 году

В 2019 году в госпрограмме Иркутской области «Развитие жилищно-коммунального хозяйства на 2014-2020 годы» предусмотрено 305 млн рублей для обеспечения софинансирования очередных этапов реконструкции канализационных очистных сооружений правого берега города Иркутска. За счет средств федерального бюджета на эти цели поступит 1 млрд 147 млн рублей. Об этом сообщил заместитель министра жилищной политики, энергетики и транспорта Иркутской области Евгений Ветров.

Подробнее

В Иркутской области досрочно завершен ремонт дороги «Залари - Жигалово»

Ремонтные работы были рассчитаны на три года с завершением в 2019 году, однако подрядчик выполнил весь объем в текущем году. Отремонтировано несколько участков в Заларинском и Нукутском районах общей протяженностью более восьми с половиной километров. Стоимость работ - 149 млн рублей из областного бюджета.

Подробнее

В Оренбургской агломерации приведено в нормативное состояние более 95 км региональных и местных автодорог

В рамках приоритетного проекта «Безопасные и качественные дороги» подрядные организации завершили ремонтные работы на 73 участках дорожной сети Оренбургской агломерации. Приведено в нормативное состояние более 68 км автодорог регионального и межмуниципального значения, отремонтировано 27 км местных дорог. К концу 2018 года доля протяженности дорожной сети Оренбургской агломерации, соответствующей нормативным требованиям, составит 64%. На реализацию проекта в этом году направлено почти 1,5 млрд рублей из федерального и областного бюджетов.

1. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 3 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 6 800 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю
на этих двух заводах?

Решение. Пусть на первом заводе работают часов, а не втором часов. Тогда за неделю будет произведено товара. Заплачено будет 500(х+у) рублей. По условию

500(х+у) =6800000. Итак, нужно найти наибольшее значение функции при условии 500(х+у) =6800000. Выражая из последнего соотношения у через х, получим функцию одной переменной, наибольшее значение которой нужно найти: . Дифференцируя эту функцию и приравнивая результат к 0, получим уравнение

. Решая это уравнение, найдем критическую точку . При переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с (+) на (-). Эта точка принадлежит области определения функции, поэтому в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

. Это ответ.

Другое решение. Пусть на первом заводе работают часов в неделю, а на втором часов. Тогда . (Это окружность). За неделю будет произведено товара. Нужно найти максимум функции на окружности. Максимум достигается в той точке окружности, радиус-вектор которой имеет максимальную величину проекции на направление "целевого вектора" . Иными словами – в точке А пересечения прямой с окружностью . Эта точка легко находится и имеет координаты . Подставляя в выражение , получаем .

.

Решение . В каждой области рабочие могут отработать 100 . 10=1000 человеко-часов. Пусть в первой области человеко-часов затрачено на добычу алюминия и человеко-часов на добычу никеля. Тогда будет добыто алюминия и никеля. Во второй области затрачено человеко-часов на производство алюминия и человеко-часов на производство никеля. При этом добыто кг алюминия и кг никеля. Выполняется условие .

Всего алюминия в двух областях будет добыто , а никеля . По условию задачи алюминия должно быть в 2 раза больше никеля, то есть . Всего сплава будет . Подставив вместо его выражение через и , получим функцию двух переменных . Нужно найти максимальное значение этой функции при условии . Для нахождения этого максимума используем прием, который был применен ранее при решении задачи 1. Рассмотрим "целевой вектор" . Максимум будет достигаться в точке пересечения прямой с окружностью . Координаты точки пересечения (10,30). При имеем .

Ответ 240

3.

На первый взгляд задача аналогична предыдущей. Однако решается она совсем по-другому.

Решение. Пусть на первом комбинате рабочих изготавливают детали А и рабочих изготавливают детали В. На втором комбинате детали А и В изготавливают, соответственно, и рабочих. Тогда деталей А будет изготовлено , а деталей В . По условию задачи деталей А в 2 раза больше, поэтому

Заметим сразу, что . Поэтому . Всего изделий будет изготовлено столько же, сколько будет изготовлено деталей В, то есть . Подставляя , получим выражение для числа деталей через : . Значение последнего выражения будет наибольшим, если принимает наименьшее из своих возможных значений. Полагая , получим . Это ответ.

4. Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x 2 ​+x+7 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит px−(0,5x 2 ​+x+7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Решение. Прибыль за три года должна быть не менее 75 млн рублей. Значит должно выполняться условие 3[px −(0,5x 2 ​+x +7)] 75. Или -0,5x 2 ​+(р-1)x -7 25. Годовая прибыль будет наибольшей, если объем выпуска соответствует вершине параболы, т.е. х=р-1. Тогда прибыль -0,5(р-1) 2 +(р-1) 2 -7=0,5(р-1) 2 -7. Из условия 0,5(р-1) 2 -7 25 находим р 9.

5.

Решение. Пусть на первом поле фермер посадит картофеля и свеклы, а на втором поле картофеля и свеклы. Тогда он соберет ц. картофеля и свеклы. Его выручка от продажи составит

Выручка будет наибольшей, если . Она составит рублей

6 . 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца (то есть каждый месяц долг становится меньше на 1/19 часть накопленного долга).

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30%больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Задач такого типа с разными вариациями заданий много.

Общая идея решения подобных задач

Пусть кредит в сумме взят на месяцев. Первого числа месяца, следующего за датой взятия кредита, долг становится . Пусть - первая выплата. После первой выплаты долг обязан сократиться на , то есть должен стать равным . Из уравнения находим . Проводя такие же рассуждения с новым долгом, находим вторую выплату . Аналогично . И так далее. Последняя выплата должна полностью погашать последний остаток долга, поэтому . Складывая все выплаты, находим

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

Найдите r если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составитне более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей.

Решение. Легко проверить, что каждая следующая выплата меньше предыдущей. Поэтому наибольшая выплата – первая, а наименьшая – последняя. Здесь . Поэтому, по условию задачи, имеем систему неравенств

Разрешая эту систему относительно , получаем

Ответ: 20%

8. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей?

Решение

В январе долг стал равен 16*1,25 = 20 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) - составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (20-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 16 - (20-X) = (X-4) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

\((16 - (n-1)\cdot(X-4))\cdot1,25 \) млн. руб.

В июле n-го года долг равен 16-n(X-4).

\((16 - (n-1)\cdot(X-4))\cdot1,25 - (16-n(X-4)). \)

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

\((16 - X+4)\cdot 1,25 - 16 + 2X-8 = 1+0,75X.\)

\((16 - 2X+8)\cdot 1,25 - 16+3 \cdot(X-4) = 2+0,5X.\)

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна

1+0,75X-X = 1-0,25X,

а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2X+(1-0,25X)\cdot (n-1)}{2}\cdot n = 40,$$

$$(2X+(1-0,25X)\cdot (n-1))n = 80.$$

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

$$16-n(X-4) = 0,$$

Откуда получаем, что

$$n = \frac{16}{X-4}.$$

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

$$(2X+(1-0,25X)\cdot (\frac{16}{X-4}-1))\cdot\frac{16}{X-4} = 80.$$

$$16\cdot (2X(X-4)+(1-0,25X)\cdot 16 -(1-0,25X)\cdot (X-4)) = 80 \cdot (X-4)^2, $$

$$2x^2 - 8X+16-4X-X+4+0,25X^2-X = 5 \cdot (X^2 - 8X+16),$$

$$2,25X^2-14X+20 = 5\cdot (X^2 - 8X+16), $$

$$9X^2-56X+80 = 20 X^2 - 160 X+320, $$

$$11X^2-104X+240 = 0,$$

$$X_1 = 4,~X_2 = 60/11.$$

Пусть X = 60/11. Тогда n = 16:16*11 = 11.

Получаем, что кредит был взят на 11 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?

Решение

Если нужно найти минимальное количество лет, на которые нужно взять кредит, то выплаты должны быть максимальными, т.е. в условиях нашей задачи составлять 350 000 рублей в год.

В январе долг станет равным 1 300 000* 1,1 = 1 430 000 рублей.

После 1 платежа в июле сумма долга составит 1 430 000 - 350 000 = 1 080 000 рублей.

В январе долг станет равным 1 080 000*1,1 = 1 188 000 рублей.

После 2 платежа в июле сумма долга составит 1 188 000 - 350 000 = 838 000 рублей.

Январь: 838 000*1,1 = 921 800.

После 3 платежа в июле: 921 800 - 350 000 = 571 800.

Январь: 571 800*1,1 = 628 980.

После 4 платежа: 628 980 - 350 000 = 278 980.

Январь: 278 980*1,1 = 306 878.

5 платеж будет последним и составит 306 878 рублей.

Получили, что кредит можно взять минимум на 5 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000≤P≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Решение

Доход можно вычислить по формуле:

$$PQ = P(15000-P).$$

Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Обозначим прибыль через R. Тогда R вычисляется по формуле:

$$R = PQ - (3000Q+5000000) = P(15000-P) - (3000(15000-P)+5000000),$$

$$R = 15000P - P^2 - 45 000 000 + 3000P - 5 000 000,$$

$$R = -P^2 + 18000P - 50 000 000.$$

После снижения цены на 20% цена стала равна 0,8P. Соответственно прибыль будет вычисляться по формуле:

$$R = -(0,8P)^2 + 18000\cdot 0,8P - 50 000 000.$$

$$R = -0,64P^2+14400P - 50 000 000.$$

Так как прибыль не изменилась, то получаем уравнение:

$$-P^2 + 18000P - 50 000 000 = -0,64P^2+14400P - 50 000 000,$$

$$0,36P^2-3600P = 0,$$

$$P_1 = 0,~~P_2 = 10 000.$$

Нам подходит значение P = 10 000 рублей. Соответственно новая цена равна 8000 рублей.

Теперь исследуем функцию \(R = -P^2+ 18000P - 50 000 000\) на максимум и найдем P, при котором будет достигаться наибольшая прибыль.

Для этого найдем производную функции \(R = -P^2+ 18000P - 50 000 000\):

$$R" = -2P+18000,$$

$$R" = 0,~~ P_1 = 0, ~~ P_2 = 9000.$$

P = 9000 - точка максимума данной функции, а значит при цене P = 9000 будет достигаться наибольшая прибыль.

Найдем, на сколько процентов нужно увеличить цену P = 8000, чтобы получить новую цену 9000 рублей. Имеем пропорцию:

112,5 - 100 = 12,5%.

То есть для достижения максимальной прибыли нужно увеличить новую цену на 12,5%.

Ответ: 12,5%.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение

Пусть X (руб.) - взято в кредит в банке. Y (руб.) - первый платеж.

1 месяц (февраль):

$$(1+r/100) \cdot X - Y.$$

Так как 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, то эта сумма равна

$$X - ((1+r/100) \cdot X - Y) = Y - rX/100.$$

Кредит был взят на 39 месяцев, а значит после 39 платежей долг будет полностью выплачен.

$$X - 39 \cdot (Y - rX/100) = 0,$$

$$Y = \frac{X+39rX/100}{39} = X/39+rX/100.$$

Теперь найдем общую сумму погашения кредита.

Так как долг 15-го числа каждого месяца уменьшаеся на на одну и ту же сумму по сравнению с 15 числом предыдущего месяца, то и платеж каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину.

$$(1+r/100) \cdot ((1+r/100) \cdot X - Y) = (1+r/100) \cdot ((X+rX/100 - X/39 - rX/100) = $$

$$= (1+r/100) \cdot 38X/39.$$

$$(1+r/100) \cdot X - Y - (Y - rX/100) = X-2Y+2rX/100 = $$

$$ = X - 2X/39-2rX/100+2rX/100 = 37X/39.$$

Значит, второй платеж равен

$$(1+r/100) \cdot 38X/39 -37X/39 = X/39 + 38rX/3900. $$

Разница между платежами составляет:

$$Y - (X/39 + 38rX/3900) = X/39+rX/100 - X/39 - 38rX/3900 = $$

$$ = rX/100 \cdot (1-38/39) = rX/3900.$$

Суммы платежей представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, где первый член равен Y или X/39+rX/100, а разность прогрессии равна rX/3900.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит, то есть общая сумма платежей равна 1,2X.

Найдем сумму всех 39 платежей по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$S_{39} = \frac{2(X/39+rX/100)-rX/3900 \cdot 38}{2} \cdot 39 = 1,2X,$$

$$ 39 \cdot (2X/39+2rX/100-38rX/3900) = 2,4X.$$

Сократим все уравнение на X:

$$39 \cdot (2/39 + 2r/100 -38r/3900) = 2,4,$$

$$2+78r/100-38r/100 = 2,4,$$

$$40r/100 = 0,4,$$

То есть искомое значение r = 1%.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны \(0,5х^2+2x+6\) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит \(px-(0,5x^2+2x+6)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Решение

За 3 года прибыль составит:

$$3 \cdot (px-(0,5x^2+2x+6)).$$

Нужно найти наименьшее значение p, при котором выполнится неравенство:

$$3 \cdot (px-(0,5x^2+2x+6)) \ge 78,$$

$$px-(0,5x^2+2x+6) \ge 26,$$

$$px \ge 0,5x^2+2x+32,$$

$$p \ge 0,5x+2+\frac{32}{x}.$$

Так как нужно найти наименьшее значение p, то нужно исследовать функцию \(0,5x+2+32/x\) на минимум. Для этого найдем ее производную:

$$(0,5x+2+32/x)" = 0,5-32/x^2,$$

$$0,5 - \frac{32}{x^2} = 0,$$

$$x^2 = 64,~x_1 = 8,~x_2 = -8.$$

x = 8 - точка минимума, поэтому минимальное значение p равно:

$$p = 0,5 \cdot 8 + 2 + 32/8 = 4+2+4 = 10. $$

Искомое наименьшее значение p = 10.