Квантовая неопределенность гейзенберга. Соотношения неопределённости Гейзенберга

В наших предыдущих псевдолекциях мы как могли растолковали простому люду про чёртов , о том, что вся материя вокруг нас на самом деле имеет волновые свойства, даже кирпич или бутылка водки, и что лишает его вездесущности.
Сегодня мы, наконец, продолжим издеваться над обывателями и расскажем в предельно доступной форме про неопределенность, правящую миром, вызвав у тех, кто профессионально разбирается в предмете тонны ненависти и раздражения. Случайные картинки из гугла прилагаются, хотя в силу усложнения текста эти картинки стало труднее выискивать. Тем, кто не в теме, рекомендуем почитать наши предыдущие посты, потому что сейчас действительно будет сложно для понимания нахрапом. Мотивирующую картинку прилагаем.

Итак, понимание того безумия, которое творится в квантовой физике, было бы очень неполным без одного открытия, который сделал в 1927 молодой немецкий физик Вернер Гейзенберг. Кстати на тот моемент ему было 26 лет, подумайте об этом. Впрочем, его гениальность не помогла отвертеться от участия в немецком ядерном проекте во время второй мировой, и что характерно теория относительности и квантовая физика считались тогда еврейскими лженауками - в общем, бытовые проблемы человечества снова и снова мешали и будут мешать ученым разгадывать тайны мироздания.

Примерно в 20-е и 30-е годы прошлого века в научных кругах шла эпическая битва за правильное понимание законов квантового мира. Проклятых либералов возглавлял Нильс Бор, а консерваторов - лично дедушка Альберт, который, напомню, до конца жизни не верил в квантовую физику. Одним из камней преткновения оказалось вычисление местоположения электрона в атоме и его скорости в определенный момент времени. По странным и непонятным причинам ученые никак не могли вывести формулу для расчета обоих значений одновременно. Эйнштейн говорил, что все эти теоретики неучи и двоечники, потому что чего-то упускают, и бог, знаете ли, не играет со Вселенной в азартные игры. Нильс Бор попивал пивко и утверждал, что классическая физика вообще не применяется для таких случаев как движение электронов. И тут вундеркинд Гейзенберг заявил: все нормально, мужики, так и должно быть.

Давайте вместе ужаснемся открытию на примере. Если пнуть ногой мяч с точно рассчитанной силой, то удивительная и не всем доступная наука физика, в частности классическая механика, легко ответит нам на вопрос, где будет находиться мяч через пять секунд после пинка и какова его скорость. Это же элементарно: расстояние равно время умножить на скорость. Садись, Вовочка, пять по физике!
Теперь мы пнём электроном. По специальным (но все же классическим) формулам считаем его скорость и местоположение на пятой секунде полета и проверяем экспериментом. И получается что-то невероятное. Мы поймали частицу в двух метрах от начала полета, но полученная по результатам эксперимента скорость вообще не такая, да еще и каждый раз разная. И наоборот, чем точнее мы рассчитываем скорость (а вернее импульс, который равен массе, умноженной на скорость), тем хуже себе представляем, где находится частица.

Давайте раз и навсегда разберемся с импульсом, а то эта вещь хоть и из школьной физики, но сильно затрудняет понимание. Импульс это такая характеристика движущегося тела, равная массе этого тела, умноженную на его скорость. Его еще называют количеством движения и измеряют в килограммах на метр в секунду. Чем больше масса движущегося тела, тем больше его импульс. В принципе, косвенно импульс намекает, как больно нам прилетит в лоб брошеный булыжник, и степень этой боли будет зависеть как от массы булыжника, так и от его скорости к моменту прилета в нашу башку. Импульс имеет важное свойство - они никуда не пропадает при столкновении, а передается другому телу, тем самым создавая всемирный закон сохранения импульса.

Не в меру умный Гейзенберг объяснил монстрам классической физики, что это не "фигня какая-то", а фундаментальное свойство нашего мира.
И нарисовал им поясняющую формулу: Δx * Δv > h/m , которая означает, что если мы умножим неопределенность положения частицы (длина отрезка координаты, где кажется находится частица) на неопределенность ее скорости (разница между верхней и нижней предполагаемой скоростей этой частицы), то всегда получим число большее нуля, равное массе частицы, поделенной на постоянную Планка (это такая цифра, у которой ноль целых, тридцать три нуля после запятой, а потом уже цифра 6 и другие). Проверьте сами: если мы точно знаем, где находится частица, то есть Δx=0, то тогда ее скорость равна невозможному значению, математической бесконечности, потому что для ее расчета нам придется поделить число из правой части формулы на ноль. А на ноль делить нельзя…

Можете себе представить, как тряхануло весь ученый мир - остальной народ ничего не понял, так как готовился ко Второй Мировой, занимался коллективизацией, пытался вылезти из Великой Депрессии и т.д. и т.п.
Оказалось, что природа защитила свои секреты вот таким вот законом, который никому никогда не обойти. Мы можем узнать вероятные значения параметров частицы с заданной точностью, но никогда не предскажем точно оба параметра. Кроме того принцип Гейзенберга распространяется не только на импульс и местонахождение - он также справедлив для энергии частицы и момента времени, когда частица этой энергией обладает.
Вот формула для самых любознательных читателей: ΔЕ*Δt > h

Цитируя одного замечательного автора: "если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится. На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц ".

Опять же, читатель, лениво прочитавший все вышенаписанное, скажет, мол, товарищи, это все математика и абстракции, мы живем в мире, где поезд выходит из города А в город Б со скоростью, которую нужно рассчитать согласно условиям учебника. Где факты, подтверждающие формулы всех этих немцев и евреев?

Во-первых, мы действительно не можем наблюдать непосредственно этот эффект, потому что различия становятся заметны на очень малых расстояниях (на это нам намекает постоянная Планка в формуле с ее тридцатью тремя нулями после запятой). А во-вторых, принцип неопределенности не так и чужд нашей Вселенной, а очень многое объясняет, почему вещи устроены так как сейчас, а не иначе.
Например, становится ясно, почему существует твердая материя.

Не могу не процитировать еще одного хорошего автора: "что случится с электроном, если его начнут слишком сильно прижимать к ядру. Это будет означать, что его местоположение станет известным с большой степенью точности. Но, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, чем больше мы уверены в местоположении частицы, тем меньше мы уверены в ее импульсе. Это очень похоже на то, как если бы мы засунули пчелу в спичечный коробок. Встряхните коробок — пчела разозлится и будет с остервенением колотиться о стены своей тюрьмы. Вот электроны в атомах и есть те самые пчелы в коробках. <…> Когда мы ступаем по земле, наш вес сжимает атомы, из которых она состоит. Это сжатие заставляет электроны хоть чуть-чуть, но приблизиться к ядрам. А принцип неопределенности Гейзенберга понуждает их воспротивиться и оттолкнуться от ядер ".

Еще один пример действия квантовой неопределенности мы уже встречали в нашей . Теперь стало немного понятнее, почему вакуум не может существовать с точки зрения квантовой физики: вакуум это поле с нулевой энергией и нулевым количеством частиц. А этого одновременно быть не может, поэтому природе приходится создавать квантовую пену, лишь бы обойти дурацкий запрет на точное знание всех параметров частиц.

Тем не менее, многие люди, включая даже настоящих ученых, полагают, что неопределенность измерения можно объяснить классическими средствами. Ведь что получается, говорят эти люди, если мы пытаемся измерить местоположение частицы, то для этого мы должны как-то обнаружить ее в пространстве и для этого мы ставим для нее преграду или ловим потоком других частиц (фотонами, например). Если в макромире освещение фонариком предмета не приведет к изменению параметров предмета, то в микромире ситуация другая. Длина волны фотона сопоставима с длиной волны разыскиваемой частицы и их "столкновение" фатально для системы.

Если фотон имеет очень большую длину волны, мы не можем точно определить положение частицы. Фотоны с большой длиной волны ударяют слабо, поэтому измерение не слишком влияет на электрон, а значит, мы можем определить его скорость достаточно точно. С другой стороны, чтобы как следует понять, где находится частица, нужно ударить ее фотоном с маленькой длиной волны. Фотон с маленькой длиной волны очень энергичный, а значит, сильно ударяет частицу. В результате мы не можем определить ее скорость достаточно точно. (тоже цитата)

На картинке как раз примеры длин электромагнитных волн - ну и какой именно волной ловить частичку, когда в случае красного света она просто потеряется между началом и концом одного "гребня", а в случае с ультрафиолетом - столкнется с практически твердой преградой и отскочит к черту на кулички.

Действительно, кажется, что проблема неопределенности в ограничениях, связанных с измерением - мы не можем измерить технически, а не вообще. Но на самом деле свойство неопределенности фундаментально и не зависит от времени, места, способа измерения параметров частицы. Неопределенность есть даже тогда, когда мы ее не измеряем (но это не значит, что существует некий Вселенский Измеритель наподобие Бога, Аллаха, Летающего Макаронного Монстра, Невидимого Розового Единорога или Ктулху, которые сидят с линейкой и решают, что измерить в каждый момент времени - координаты или импульс).

Интереснейшим практическим следствием неопределенности является туннельный эффект.
Если по каким-то причинам местонахождение частицы становится все более и более определенным, то скорость частицы становится, как мы знаем, непредсказуемой. Строго говоря, непредсказуемым становится импульс частицы. Вследствие этого обычного квантового явления неопределенность импульса может дать частице дополнительную энергию и такая частица иногда может сделать очень странную вещь: пройти сквозь непреодолимый барьер. В макромире это выглядело бы как прохождение сквозь стену или выпрыгивание из ямы без видимых причин.

Но туннелирование в самом деле существует. И мы им пользуемся в таких достижениях прогресса как туннельный диод или сверхпроводники. Тот же радиоактивный распад существует благодаря эффекту туннелирования: альфа-частицы отрываются от тяжелого ядра не за счет собственных сил - ядро их на самом деле очень крепко держит (мы как-то уже рассказывали ) - а как раз из-за существования ненулевой вероятности прорваться через энергетический барьер. И существование термоядерного синтеза внутри звезд (из-за которого наше солнце светит) также обусловлено туннелированием. Вот ведь как все на самом деле-то, котаны.

Как мы уже говорили, Эйнштейну очень не нравились всякие неопределенности в физике. И в то время, когда Нильс Бор пытался создать хоть какое-то подобие квантовой теории, Эйнштейн всячески изводил его провокационными вопросами. Так в 30-е годы Эйнштейн и два его единомышленника - Подольский и Розен - предложили так называемый ЭПР-парадокс (по первым буквам фамилий хитрых физиков), гипотетический эксперимент, который доказывал, что неопределенность Гейзенберга можно обойти. Те, кто немного разбирались в том, что происходит, запасались попкорном и издалека наблюдали как физики троллят друг друга. Заголовок газеты тех времен гласил: "Эйнштейн атакует квантовую теорию: Учёный и двое его коллег находят её „неполной“, хотя и „корректной“

Попробуем упрощенно разобрать суть парадокса. Допустим Гейзенберг немного прав, и мы почему-то не можем измерить импульс и координаты частицы одновременно. Но попробуем пойти в обход. Давайте столкнем две частицы, и после удара они разлетятся, получив некоторые общие характеристики. Такие частицы физики называют "запутанными ". Отбросив сложную матчасть, вспомним закон сохранения импульса из классической механики - суммарный импульс тел до соударения равен суммарному импульсу после соударения . Итак, частицы сталкиваются, и они разлетаются, поделив импульс, как биллиардные шары после столкновения. Затем мы измеряем координату у первой частицы и импульс у второй. Таким образом узнаем и координату первой частицы (которую измерили непосредственно), и ее импульс (который просто вычислили, измерив импульс у второй частицы и отняв ее от первоначального импульса до соударения).

Осознайте, насколько коварен был Эйнштейн! Поставить подобный эксперимент в те годы было затруднительно (коллайдеры еще не изобрели). Нильс Бор практически на одной вере в чудеса заявил, что эксперимент не получится, потому что частица приобретает значения импульса только после измерения, а не в момент столкновения. Но Эйнштейн казался таким логичным - ведь это будет святотатство - нарушение закона сохранения импульса. Противостояние физиков перешло в затяжную стадию с перевесом в пользу Эйнштейна.

И только спустя 30 лет, один физик по имени Белл придумал специальную формулу, с помощью которой можно было бы проверить, кто прав Эйнштейн или Бор. А еще 22 года спустя (в 1982 году) французские ученые сумели поставить эксперимент и проверили результаты по формулам Белла. Оказалось, что прав был Нильс Бор: Никакой "объективной физической реальности", о которой грезил Эйнштейн, в микромире не существует.

На картинке еще одно более сложное, но все-таки популярное объяснение ЭПР-парадокса (разбирайтесь сами).

Квантовая запутанность крайне сложная вещь - о ней и прочих страшных вещах (квантовая нелокальность, квантовые компьютеры, все эти необъяснимые спины, запрет Паули, неравества Белла и т.д.) мы как-нибудь попробуем рассказать в следующих ликбезах от дружного коллектива Quantuz, если, конечно, рейтинги статей дадут нам понять, что народу эта тема все еще интересна. Искренне просим прощения за возможные неточности в изложении. Напоминаем, что наша цель как можно более популярно объяснить людям, почему физика интереснее "битвы экстрасенсов".
Помните, что если вы что-то не поняли, то это нормально. Квантовую физику мало кто понимает целиком. Не унывайте.

Все изображения взяты из гугла (поиск по картинкам) - авторство определяется там же.
Незаконное копирование текста преследуется, пресекается, ну, и сами знаете. ..

Само наличие у частицы волновых свойств накладывает определенные ограничения на возможность корпускулярного описания ее поведения. Для классической частицы всегда можно указать ее точное положение и импульс. Для квантового объекта имеем иную ситуацию.

Представим цуг волн пространственной протяженностью - образ локализованного электрона, положение которого известно с точностью . Длину волны де Бройля для электрона можно определить, подсчитав число N пространственных периодов на отрезке :

Какова точность определения ? Ясно, что для слегка отличающейся длины волны мы получим примерно то же самое значение N. Неопределенность в длине волны ведет к неопределенности

в числе узлов, причем измерению доступны лишь . Так как

то отсюда немедленно следует знаменитое соотношение неопределенностей В. Гейзенберга для координат - импульсов (1927 г.):

Точности ради надо заметить, что, во-первых, величина в данном случае означает неопределенность проекции импульса на ось OX и, во-вторых, приведенное рассуждение имеет скорее качественный, нежели количественный характер, поскольку мы не дали строгой математической формулировки, что понимается под неопределенностью измерения. Обычно соотношение неопределенностей для координат-импульсов записывается в виде

Аналогичные соотношения справедливы для проекций радиуса-вектора и импульса частицы на две другие координатные оси:

Представим теперь, что мы стоим на месте и мимо проходит электронная волна. Наблюдая за ней в течение времени , хотим найти ее частоту n . Насчитав колебаний, определяем частоту с точностью

откуда имеем

или (с учетом соотношения )

Аналогично неравенству (3.12) соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии системы чаще используется в виде

Рис. 3.38. Ве́рнер Карл Ге́йзенберг (1901–1976)

Поговорим о физическом смысле этих соотношений. Может сложиться представление, что в них проявляется «несовершенство» макроскопических приборов. Но приборы совсем не виноваты: ограничения носят принципиальный, а не технический характер. Сам микрообъект не может быть в таком состоянии, когда определенные значения одновременно имеют какая-то из его координат и проекция импульса на ту же ось.

Смысл второго соотношения: если микрообъект живет конечное время, то его энергия не имеет точного значения, она как бы размыта. Естественная ширина спектральных липни - прямое следствие формул Гейзенберга. На стационарной орбите электрон живет неограниченно долго и энергия определена точно. В этом - физический смысл понятия стационарного состояния. Если неопределенность в энергии электрона превышает разность энергий соседних состояний

то нельзя точно сказать, на каком уровне находится электрон. Иными словами, на короткое время порядка

электрон может перескочить с уровня 1 на уровень 2 , не излучая фотона, и затем вернуться назад. Это - виртуальный процесс, который не наблюдается и, следовательно, не нарушает закона сохранения энергии.

Похожие соотношения существуют и для других пар так называемых канонически сопряженных динамических переменных. Так, при вращении частицы вокруг некоторой оси по орбите радиусом R неопределенность ее угловой координаты влечет за собой неопределенность ее положения на орбите . Из соотношений (3.12) следует, что неопределенность импульса частицы удовлетворяет неравенству

Учитывая связь момента импульса электрона L с его импульсом L = Rp, получаем , откуда следует еще одно соотношение неопределенностей

Некоторые следствия соотношений неопределенностей

Например, для осциллятора (тело на пружине) энергию Е можно записать в виде

Основное состояние в классической механике это состояние покоя в положении равновесия:

Поэтому величина неопределенностей и имеет порядок самих значений импульса и координаты, откуда получаем

Минимум энергии достигается в точке

Вообще говоря, такие оценки не могут претендовать на точный ответ, хотя в данном случае (как и для атома водорода) он действительно точен. Мы получили так называемые нулевые колебания : квантовый осциллятор, в отличие от классического, не может оставаться в покое - это противоречило бы соотношению неопределенностей Гейзенберга. Точные расчеты показывают, что формулу Планка для уровней энергии осциллятора надо было бы писать в виде

где n = 0, 1, 2, 3, ... - колебательное квантовое число.

При решении задач на применение соотношения неопределенностей следует иметь в виду, что в основном состоянии в классической физике электрон покоится в точке, соответствующей минимуму потенциальной энергии. Соотношения неопределенностей не позволяют ему это делать в квантовой теории, так что электрон должен иметь некоторый разброс импульсов. Поэтому неопределенность импульса (его отклонение от классического значения 0 ) и сам импульс по порядку величины совпадают

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»

В квантовой механике принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга ) устанавливает, что существует ненулевой предел для произведения дисперсий сопряжённых пар физических величин, характеризующих состояние системы. Принцип неопределённости обнаруживается также в классической теории измерений физических величин.

Обычно принцип неопределённости иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим ансамбль невзаимодействующих эквивалентных частиц, приготовленных в определённом состоянии, для каждой из которых измеряется либо координата q , либо импульс p . При этом результаты измерений будут случайными величинами, среднеквадратические отклонения которых от средних значений будут удовлетворять соотношению неопределённостей , где – . Поскольку любое измерение изменяет состояние каждой частицы, при одном измерении нельзя одновременно измерить значения и координаты и импульса. Для ансамбля частиц уменьшение дисперсии при измерении физической величины приводит к увеличению дисперсии сопряжённой физической величины. Считается, что принцип неопределённости связан не только с возможностями экспериментальной техники, но и показывает фундаментальное свойство природы.

Краткий обзор

В квантовой механике соотношение неопределённости возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некоммутирующими операторами. Кроме этого принимается, что для частиц по крайней мере отчасти справедлив корпускулярно-волновой дуализм. В таком приближении положение частицы определяется местом концентрации соответствующей частице волны, импульс частицы связывается с длиной волны, и возникает наглядная аналогия между отношениями неопределённости и свойствами волн или сигналов. Положение является неопределённым настолько, насколько волна распределена в пространстве, а неопределённость импульса выводится из неопределённости длины волны при её измерении в разные моменты времени. Если волна находится в точечноподобной области, её положение определено с хорошей точностью, но у такой волны в виде короткого волнового цуга отсутствует определённая длина волны, характерная для бесконечной монохроматической волны.

В качестве волны, соответствующей частице, можно взять волновую функцию. В многомировой интерпретации квантовой механики считается, что при каждом измерении положения частицы происходит декогеренция . В отличие от этого в копенгагенской интерпретации квантовой механики говорят, что при каждом измерении положения частицы как будто бы происходит коллапс волновой функции до малой области, где находится частица, и за пределами этой области волновая функция близка к нулю (это описание полагается возможным приёмом для согласования поведения волновой функции как характеристики частицы, так как волновая функция лишь косвенно связана с реальными физическими величинами). Такая трактовка вытекает из того, что квадрат волновой функции показывает вероятность нахождения частицы в пространстве. Для малой области импульс частицы в каждом измерении не может быть измерен точно вследствие самой процедуры измерений импульса. При измерении положения частица будет чаще обнаруживаться там, где имеется максимум волновой функции, и в серии одинаковых измерений появится наиболее вероятное положение и определится среднеквадратическое отклонение от него:

Точно также в серии одинаковых измерений осуществляется распределение вероятностей, определяются статистическая дисперсия и среднеквадратическое отклонение от среднего импульса частицы :

Произведение данных величин связано соотношением неопределённости:

где – постоянная Дирака.

В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что в случае нормального распределения переменных приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе, становящейся равной . Согласно соотношению неопределённостей, состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x – нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» но не с произвольно высокой точностью.

Отношения неопределённости накладывают ограничения на теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями Джона фон Неймана. Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений согласно Л.Д. Ландау. В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало.

Как правило, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна. Принцип неопределённости в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим. Примером является частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке. Такая частица является системой, которая не характеризуется ни определённым «положением» (какое-либо определённое значение расстояния от потенциальной стенки), ни определённым значением импульса (включая его направление).

Принцип неопределённости выполняется не только в опытах для множества частиц в одинаковых начальных состояниях, когда учитываются среднеквадратичные отклонения от средних значений для пары сопряжённых физических величин, измеряемых отдельно друг от друга, но и в каждых разовых измерениях, когда можно оценить значения и разброс одновременно обеих физических величин. Хотя принцип неопределённости связан с эффектом наблюдателя , он не исчерпывается им, поскольку связан ещё и со свойствами наблюдаемых квантовых объектов и их взаимодействиями между собой и с приборами.

История

Основная статья : Введение в квантовую механику

Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределённости в институте Нильса Бора в Копенгагене во время работы над математическими основами квантовой механики.

В 1925 г. следуя работам Хендрика Крамерса , Гейзенберг развил матричную механику, заменившую существовавшую ранее на основе постулатов Бора версию квантовой механики. Он предположил, что квантовое движение отличается от классического, так что у электронов в атоме нет точно определённых орбит. Следовательно, для электрона уже нельзя точно сказать, где он находится в данное время и как быстро движется. Свойством матриц Гейзенберга для положения и импульса является то, что они не коммутируют между собой:

В марте 1926 г. Гейзенберг нашёл, что некоммутативность приводит к принципу неопределённости, ставшему основой того, что позже назвали копенгагенской интерпретацией квантовой механики. Гейзенберг показал связь коммутатора операторов величин и боровского принципа дополнительности. Любые две переменные, которые не коммутируют между собой, не могут быть точно измерены одновременно, так как при увеличении точности измерения одной переменной падает точность измерения другой переменной.

В качестве примера можно рассмотреть дифракцию частицы, проходящей через узкую щель в экране и отклоняющейся после прохождения на некоторый угол. Чем уже щель, тем больше получается неопределённость в направлении импульса прошедшей частицы. По закону дифракции возможное угловое отклонение Δθ приблизительно равно λ / d , где d есть ширина щели, а λ – длина волны, соответствующая частице. Если использовать формулу для в виде λ = h / p , и обозначить d Δθ = Δx , то получается соотношение Гейзенберга:

В своей статье 1927 г. Гейзенберг представил данное соотношение как минимально необходимое возмущение в величине импульса частицы, возникающее в результате измерения положения частицы , но не дал точного определения величинам Δx и Δp . Вместо этого он сделал их оценки в ряде случаев. В своей лекции в Чикаго он уточнил свой принцип так:

где , и σ x , σ p являются среднеквадратическими (стандартными) отклонениями положения и импульса. Сам Гейзенберг доказал соотношение (2) только для специального случая гауссовских состояний. .

Принцип неопределённости и эффект наблюдателя

Один из вариантов принципа неопределённости можно сформулировать так:

Измерение координаты частицы необходимо изменяет её импульс, и наоборот .

Это делает принцип неопределённости особым, квантовым вариантом эффекта наблюдателя , причём в роли наблюдателя может выступать и автоматизированная система измерений, использующая как принцип прямой фиксации частиц, так и метод исключения (частицы, не попавшие в детектор, прошли другим доступным путём).

Такое объяснение может быть принято и было использовано Гейзенбергом и Бором, стоявшими на философской основе логического позитивизма. Согласно логике позитивизма, для исследователя истинная природа наблюдаемой физической системы определяется результатами наиболее точных экспериментов, достижимых в принципе и ограниченных лишь самой природой. В таком случае появление неизбежных неточностей при проведении измерений становится следствием не только свойств реально используемых приборов, но и самой физической системы в целом, включая объект и систему измерения.

В настоящее время логический позитивизм не является общепринятой концепцией, поэтому объяснение принципа неопределённости на основе эффекта наблюдателя становится неполным для тех, кто придерживается другой философского подхода. Некоторые полагают, что возникающее при измерении координаты частицы значительное изменение её импульса является необходимым свойством не частицы, а лишь измерительного процесса. На самом деле частица скрытым от наблюдателя образом обладает определённым местоположением и импульсом в каждый момент времени, но их значения не определяются точно вследствие использования слишком грубых инструментов (теория скрытых параметров). Для иллюстрации можно привести пример: необходимо найти местоположение и импульс движущегося биллиардного шара, используя другой биллиардный шар. В серии экспериментов, в которых оба шара направляются приблизительно одинаково и сталкиваются, можно найти углы рассеяния шаров, их импульсы, и затем определить точки их встречи. Вследствие начальных неточностей каждое столкновение является уникальным, появляется разброс в местоположении и скоростях шаров, что для серии столкновений приводит к соответствующему соотношению неопределённости. Однако при этом мы точно знаем, что в каждом отдельном измерении шары движутся, обладая вполне конкретными импульсом в каждый момент времени. Данное знание в свою очередь возникает оттого, что за шарами можно следить с помощью отражённого света, который практически не влияет на движение массивных шаров.

Описанная ситуация иллюстрирует возникновение принципа неопределённости и зависимость результатов измерений от процедуры измерений и свойств измерительных приборов. Но в реальных экспериментах до сих пор не обнаружено способа одновременного измерения параметров элементарных частиц внешними приборами, не нарушая существенно их начального состояния. Поэтому идея о скрытых от наблюдателя параметрах частиц в стандартной квантовой механике не пользуется успехом и в ней обычно просто утверждается, что не существует состояний, в которых одновременно можно измерить координату и импульс частицы.

Существуют однако ситуации, в которых вероятно могут быть определены скрытые параметры частиц. Речь идёт о двух (или более) связанных частицах в так называемом сцепленном состоянии. Если эти частицы оказываются на достаточно большом расстоянии друг от друга и не могут влиять друг на друга, измерение параметров одной частицы даёт полезную информацию о состоянии другой частицы.

Допустим, при распаде позитрония излучаются два фотона в противоположенных направлениях. Поместим два детектора таким образом, что первый может измерить положение одного фотона, а второй детектор – импульс другого фотона. Произведя одновременные измерения, можно с помощью закона сохранения импульса достаточно точно определить как импульс и направление первого фотона, так и его местоположение при попадании в первый детектор. Изменение процедуры измерения в данном случае позволяет избежать необходимости обязательного использования принципа неопределённости как ограничительного средства при вычислении погрешностей измерения. Описанная ситуация не отменяет принцип неопределённости как таковой, поскольку координата и импульс одновременно измеряются не у одной частицы локальным образом, а у двух частиц на расстоянии друг от друга.

Микроскоп Гейзенберга

В качестве одного из примеров, иллюстрировавших принцип неопределённости, Гейзенберг приводил воображаемый микроскоп как измерительное устройство. С его помощью экспериментатор измеряет положение и импульс электрона, который рассеивает падающий на него фотон, обнаруживая тем самым своё присутствие.

Если фотон имеет малую длину волны и следовательно большой импульс, положение электрона в принципе может быть измерено достаточно точно. Но при этом фотон рассеивается случайным образом, передавая электрону достаточно большую и неопределённую долю своего импульса. Если же у фотона большая длина волны и малый импульс, он мало изменяет импульс электрона, но рассеяние будет определять положение электрона очень неточно. В результате произведение неопределённостей в координате и импульсе остаётся не меньшим, чем постоянная Планка, с точностью до числового сомножителя порядка единицы. Гейзенберг не сформулировал точное математическое выражение для принципа неопределённости, а использовал принцип как эвристическое количественное соотношение.

Критика

Копенгагенская интерпретация квантовой механики и принцип неопределенности Гейзенберга оказались двойной мишенью для тех, кто верил в реализм и детерминизм. В копенгагенской интерпретации квантовой механики не содержится фундаментальной реальности, описывающей квантовое состояние и предписывающей способ вычисления экспериментальных результатов. В ней заранее не известно, что система находится в фундаментальном состоянии таком, что при измерениях появится точно заданный результат. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности), произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель, может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну: «я уверен, что Бог не бросает кости» (Die Theorie liefert viel . Aber ich bin überzeugt , dass der Alte nicht würfelt ) . Нильс Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Альберт Эйнштейн считал, что случайность появляется как отражение нашего незнания фундаментальных свойств реальности, тогда как Бор верил, что распределение вероятностей является фундаментальным и неповторимым, зависящим от вида измерений. Дебаты Эйнштейна и Бора в отношении принципа неопределённости длились не один год.

Щель в экране

Первый мысленный эксперимент Эйнштейна по проверке принципа неопределённости был следующим:

Рассмотрим частицу, проходящую через щель в экране шириной d. Щель приводит к неопределённости импульса частицы порядка h/d, когда частица проходит через экран. Но импульс частицы с достаточной точностью можно определить по отдаче экрана с помощью закона сохранения импульса.

Ответ Бора был таков: так как экран подчиняется законам квантовой механики, то для измерения отдачи с точностью ΔP импульс экрана должен быть известен с такой точностью до пролёта частицы. Это приводит к неопределённости положения экрана и щели, равной h / ΔP , и если импульс экрана известен достаточно точно для измерения отдачи, положение щели оказывается определённым с точностью, не позволяющей точного измерения положения частицы.

Подобный анализ с частицами, испытывающими дифракцию на нескольких щелях, имеется у Р. Фейнмана.

Коробка Эйнштейна

Другой мысленный эксперимент Эйнштейна был задуман для проверки принципа неопределённости в отношении таких сопряжённых переменных, как время и энергия. Если в эксперименте со щелью в экране частицы двигались в заданном пространстве, то во втором случае они двигаются в течение заданного времени.

Рассмотрим коробку, наполненную световым излучением в результате радиоактивного распада. В коробке имеется затвор, открывающий её на точно известное малое время, в течение которого часть излучения покидает коробку. Для измерения унесённой с излучением энергии можно взвесить коробку после излучения, сравнить с начальным весом и применить принцип . Если коробка установлена на весах, то измерения сразу должны показать неточность принципа неопределённости.

Через день размышлений Бор определил, что если энергия самой коробки известна точно в начальный момент, то время открытия затвора не может быть известно точно. Кроме этого, весы и коробка за счёт изменения веса при излучении могут менять своё положение в гравитационном поле. Это приводит к изменению скорости течения времени за счёт движения часов и за счёт влияния гравитации на ход часов, и к дополнительной неточности времени срабатывания затвора.

Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена

В третий раз боровская трактовка принципа неопределённости подверглась сомнению в 1935 г., когда Альберт Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен (смотри Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена) опубликовали свой анализ состояний удалённых на большие расстояния сцепленных частиц. Согласно Эйнштейну, измерение физической величины одной частицы в квантовой механике должно приводить к изменению вероятности распределения другой частицы, причём со скоростью, которая может превышать даже скорость света. Обдумывая это, Бор пришёл к той мысли, что неопределённость в принципе неопределённости не возникает от подобного прямого измерения.

Сам же Эйнштейн полагал, что полное описание реальности должно включать предсказание результатов экспериментов на основе "локально меняющихся детерминированных величин", приводя к увеличению информации по сравнению с той, которая ограничивается принципом неопределённости.

В 1964 г. Джон Белл показал, что предположение Эйнштейна о скрытых параметрах может быть проверено, поскольку оно приводит к определённым неравенствам между вероятностями в различных экспериментах. К настоящему времени какого-либо надёжного подтверждения существования скрытых параметров на основе неравенств Белла не получено.

Имеется также точка зрения, что на результаты экспериментов могут влиять нелокальные скрытые параметры , в частности, её придерживался Д. Бом. Здесь квантовая теория может тесно соприкасаться с другими физическими концепциями. Например, нелокальные скрытые параметры можно мыслить случайным набором данных, проявляющимся в экспериментах. Если предположить, что размер видимой вселенной ограничивает этот набор и связи между ними, то квантовый компьютер согласно Г. Хоофту вероятно будет допускать ошибки, когда будет оперировать с числами, превышающими 10000 единиц.

Критика Поппера

К.Р. Поппер критиковал принцип неопределённости в том виде, который был дан Гейзенбергом – что измерение местоположения частицы всегда влияет на результат измерения импульса, указывая, что при прохождении частицей с определённым импульсом узкой щели в отражённой волне имеется некоторая амплитуда вероятности существования импульса, равного импульсу до рассеяния. Это значит, что в ряде событий частица пройдёт щель без изменения импульса. В таком случае соотношение неопределённостей следует применять не для индивидуальных событий или опытов, а для экспериментов с множеством одинаковых частиц с одинаковыми начальными условиями, то есть для квантовых ансамблей. Критика подобного типа применима ко всем вероятностным теориям, а не только к квантовой механике, так как вероятностные утверждения требуют для своей поверки множества измерений.

С точки зрения копенгагенской интерпретации квантовой механики, приписывание частице определённого импульса до измерения эквивалентно существованию скрытого параметра. Частица должна описываться не этим импульсом, а волновой функцией, которая меняется при прохождении щели. Отсюда возникает неопределённость импульса, соответствующая принципу неопределённости.

Принцип неопределённости информационной энтропии

При формулировке многомировой интерпретации квантовой механики в 1957 г. Хью Эверетт пришёл к более строгой форме принципа неопределённости. . Если квантовые состояния имеют волновую функцию вида:

то у них будет увеличено стандартное отклонение в координате из-за суперпозиции некоторого числа взаимодействий. Будет увеличена и неопределённость в импульсе. Для уточнения неравенства в соотношении неопределённостей используется информация Шеннона для распределения величин, измеряемая числом бит, необходимых для описания случайной величины при конкретном распределении вероятностей:

Величина I интерпретируется как число бит информации, получаемой наблюдателем в момент, когда величина x достигает точности ε , равной I x + log 2 (ε) . Вторая часть есть число бит после десятичной точки, а первая даёт логарифмическое значение распределения. Для однородного распределения ширины Δx информационное содержание равно log 2 Δx . Эта величина может быть отрицательна, означая, что распределение уже одной единицы, и малые биты после десятичной точки не дают информации из-за неопределённости.

Если взять логарифм соотношения неопределённостей в так называемых естественных единицах:

то в таком виде нижняя граница равна нулю.

Эверетт и Хиршман предположили, что для всех квантовых состояний:

Это было доказано Бекнером в 1975 г. .

Производные

Когда линейные операторы A и B действуют на функцию ψ(x ) , они не всегда коммутируют. Пусть например оператор B есть умножение на x, а оператор A есть производная по x. Тогда имеет место равенство:

которое на операторном языке означает:

Это выражение очень близко к каноническому коммутатору квантовой механики, в котором оператор положения есть умножение волновой функции на x, а оператор импульса включает производную и умножение на . Это даёт:

Этот ненулевой коммутатор приводит к соотношению неопределённости.

Для любых двух операторов A и B:

что соответствует неравенству Коши - Буняковского для внутреннего произведения двух векторов и . Величина ожидания произведения AB превышает амплитуду мнимой части:

Для эрмитовых операторов это даёт соотношение Робертсона - Шрёдингера :

и принцип неопределённости как частный случай.

Физическая интерпретация

При переходе от операторов величин к неопределённостям можно записать:

где

есть среднее переменной X в состоянии ψ ,

есть среднеквадратическое отклонение переменной X в состоянии ψ.

После замены для A и для B в общем операторном неравенстве коммутатор приобретает вид:

Нормы и являются в квантовой механике стандартными отклонениями для A и B. Для координаты и импульса норма коммутатора равна .

Матричная механика

В матричной механике коммутатор матриц X и P равен не нулю, а величине , умноженной на единичную матрицу.

Коммутатор двух матриц не меняется, когда обе матрицы изменяются за счёт сдвига на постоянные матрицы x и p :

Для каждого квантового состояния ψ можно определить число x

как ожидаемое значение координаты, и

как ожидаемое значение импульса. Величины и будут ненулевыми в той степени, в которой являются неопределёнными положение и импульс, так что X и P отличаются от средних значений. Ожидаемое значение коммутатора

может быть ненулевым, если отклонение в X в состоянии , умноженное на отклонение в P , достаточно большое.

Квадрат значения типичного матричного элемента как квадрат отклонения можно оценить путём суммирования квадратов состояний энергии :

Поэтому каноническое коммутационное соотношение получается умножением отклонений в каждом состоянии, давая значение порядка :

Эта эвристическая оценка может быть уточнена с помощью неравенства Коши - Буняковского (смотри выше). Внутреннее произведение двух векторов в скобках:

ограничено произведением длин векторов:

Поэтому для каждого состояния будет:

действительная часть матрицы M есть , поэтому действительная часть произведения двух эрмитовых матриц равна:

Для мнимой части имеем:

Амплитуда больше, чем амплитуда её мнимой части:

Произведение неопределённостей ограничено снизу ожидаемым значением антикоммутатора , давая соответствующий член в соотношение неопределённостей. Этот член не важен для неопределённости положения и импульса, так как он имеет нулевое ожидаемое значение для гауссовского волнового пакета, как в основном состоянии гармонического осциллятора. В то же время член от антикоммутатора полезен для ограничения неопределённостей спиновых операторов.

Волновая механика

В уравнении Шрёдингера квантовомеханическая волновая функция содержит информацию как о положении, так и об импульсе частицы. Наиболее вероятным положением частицы является то, где концентрация волны наибольшая, а основная длина волны задаёт импульс частицы.

Длина волны локализованной волны определяется неточно. Если волна находится в объёме размером L и длина волны приблизительно равна λ , число циклов волны в этой области будет порядка L / λ . То, что число циклов известно с точностью до одного цикла, можно записать так:

Это соответствует хорошо известному результату при обработке сигналов - чем короче промежуток времени, тем менее точно определена частота. Аналогично в преобразовании Фурье, чем уже пик функции, тем шире её Фурье образ.

Если умножить равенство на h , и положить ΔP = h Δ (1 / λ) , ΔX = L , то будет:

Принцип неопределённости может быть представлен как теорема в преобразованиях Фурье: произведение стандартного отклонения квадрата абсолютного значения функции на стандартное отклонение квадрата абсолютного значения её Фурье образа не меньше, чем 1/(16π 2).

Типичным примером является (ненормализованная) гауссовская волновая функция:

Ожидаемое значение X равно нулю вследствие симметрии, поэтому вариация находится усреднением X 2 по всем положениям с весом ψ(x ) 2 и учётом нормировки:

С помощью преобразования Фурье можно перейти от ψ(x ) к волновой функции в k пространстве, где k есть волновое число и связано с импульсом соотношением де Бройля :

Последний интеграл не зависит от p, так как здесь непрерывное изменение переменных , исключающее такую зависимость, а путь интегрирования в комплексной плоскости не проходит через сингулярность. Поэтому с точностью до нормировки волновая функция снова гауссовская:

Ширина распределения k находится путём усреднения через интегрирование, как показано выше:

Тогда в данном примере

Симплектическая геометрия

В математических терминах сопряжённые переменные являются частью симплектического базиса, и принцип неопределённости соответствует симплектической форме в симплектическом пространстве.

Соотношение Робертсона - Шрёдингера

Возьмём любые два самосопряжённые эрмитовые операторы A и B , и систему в состоянии ψ. При измерении величин A и B проявится распределение вероятностей со стандартными отклонениями Δ ψ A и Δ ψ B . Тогда будет справедливо неравенство:

где [A ,B ] = AB - BA есть коммутатор A и B , {A ,B } = AB +BA есть антикоммутатор , и есть ожидаемое значение. Это неравенство называется соотношением Робертсона - Шрёдингера, включающее в себя принцип неопределённости как частный случай. Неравенство с одним коммутатором вывел в 1930 г. Говард Перси Робертсон (Howard Percy Robertson ), и несколько позже Эрвин Шрёдингер добавил член с антикоммутатором .

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B , которые имеют один и тот же собственный вектор ψ . В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B .

Другие принципы неопределённости

Соотношение Робертсона - Шрёдингера приводит к соотношениям неопределённости для любых двух переменных, которые не коммутируют друг с другом:

• Соотношение неопределённости между координатой и импульсом частицы:

• между энергией и положением частицы в одномерном потенциале V(x):

• между угловой координатой и моментом импульса частицы при малой угловой неопределённости:

• между ортогональными компонентами полного момента импульса частицы:

где i , j , k различны и J i означает момент импульса вдоль оси x i .

• между числом электронов в сверхпроводнике и фазой их упорядочивания в теории Гинзбурга-Ландау:

Существует также отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Энергия-время в принципе неопределённости

Энергия и время входят в соотношение неопределённостей, которое не вытекает напрямую из соотношения Робертсона - Шрёдингера.

Произведение энергии на время имеет ту же размерность, что и произведение импульса на координату, момент импульса и функция действия. Поэтому уже Бору было известно следующее соотношение:

здесь Δt есть время существования квантового состояния, а время как и пространственная координата задаёт эволюцию частицы в системе пространственно-временных координат.

Из соотношения следует, что состояние с малым временем жизни не может иметь определенного значения энергии – за это время энергия обязана измениться, тем более существенно, чем меньше время. Если энергия состояния пропорциональна частоте колебаний, то для высокой точности измерения энергии необходимо измерять частоту за такой период времени, который включает в себя достаточно много волновых циклов.

Например, в спектроскопии возбуждённые состояния имеют ограниченное время жизни. Средняя энергия испускаемых фотонов лежит вблизи теоретического значения энергии состояния, но распределение энергий имеет некоторую ширину, называемую естественная ширина линии . Чем быстрее распадается состояние, тем шире соответствующая ему ширина линии, что затрудняет точное измерение энергии. . Аналогично имеются трудности при определении массы покоя быстро распадающихся резонансов в физике элементарных частиц. Чем быстрее распадается частица, тем менее точно известна её масса-энергия.

В одной неточной формулировке принципа неопределённости утверждается, что для измерения энергии квантовой системы с точностью ΔE требуется время Δt > h / ΔE . Её неточность была показана Ахароновым (Yakir Aharonov ) и Д. Бомом в 1961 г. На самом деле время Δt есть время, когда система существует в отсутствие внешних возмущений, а не время измерения или воздействия измерительных приборов.

В 1936 г. Поль Дирак предложил точное определение и вывод энерго -временного соотношения неопределённости в релятивистской квантовой теории "событий". В этой формулировке частицы движутся в пространстве-времени и на каждой траектории имеют своё собственное внутреннее время. Многовременная формулировка квантовой механики математически эквивалентна стандартной формулировке, но более удобна для релятивистского обобщения. На её основе Синъитиро Томонага создал ковариантную теорию возмущений для квантовой электродинамики.

Более известную и используемую формулировку энерго -временного соотношения неопределённости дали в 1945 г. Л. И. Мандельштам и И . E. Тамм. Для квантовой системы в нестационарном состоянии наблюдаемая величина B представляется самосогласованным оператором , и справедлива формула:

где Δ ψ E есть стандартное отклонение оператора энергии в состоянии , Δ ψ B есть стандартное отклонение оператора и есть ожидаемая величина в этом состоянии. Второй множитель в левой части имеет размерность времени, и он отличается от времени, входящем в уравнение Шрёдингера. Этот множитель является временем жизни состояния по отношению к наблюдаемой B , по истечении которого ожидаемое значение изменяется заметно.

Теоремы неопределённости в гармоническом анализе

В гармоническом анализе принцип неопределённости подразумевает, что нельзя точно получить значения функции и её отображения Фурье; при этом выполняется следующее неравенство:

Имеются и другие соотношения между функцией ƒ и её отображением Фурье.

Теорема Бенедика

Эта теорема утверждает, что набор точек, где функция ƒ не равна нулю, и набор точек, где не равна нулю, не могут быть оба слишком малы. В частности, ƒ в L 2 (R ) и её отображение Фурье не могут поддерживаться одновременно (иметь один и тот же носитель функции) на покрытиях с ограниченной мерой Лебега. При обработке сигналов этот результат хорошо известен: функция не может одновременно быть ограниченной и во времени и в диапазоне частот.

Принцип неопределённости Харди

Математик G. H. Hardy в 1933 г. сформулировал следующий принцип: невозможно для функций ƒ и обоим быть "очень быстро возрастающими." Так, если ƒ определена в L 2 (R ), то:

кроме случая f = 0 . Здесь отображение Фурье равно , и если в интеграле заменить на для каждого a < 2π , то соответствующий интеграл будет ограниченным для ненулевой функции f 0 .

Бесконечная вложенность материи

В теории принцип неопределённости получает особое толкование. Согласно этой теории, всё множество существующих во Вселенной объектов можно расположить по уровням, в пределах которых размеры и массы принадлежащих им объектов различаются не так сильно, как между различными уровнями. При этом возникает . Оно выражается например в том, что массы и размеры тел при переходе от уровня к уровню вырастают в геометрической прогрессии и могут быть найдены с помощью соответствующих коэффициентов подобия. Существуют основные и промежуточные уровни материи. Если брать такие основные уровни материи, как уровень элементарных частиц и уровень звёзд, то в них можно найти подобные друг другу объекты – нуклоны и нейтронные звёзды. Электрон также имеет свой аналог на уровне звёзд – в виде дисков, открытых возле рентгеновских пульсаров, являющихся основными кандидатами в магнитары. . По известным свойствам элементарных частиц (масса, радиус, заряд, спин и т.д.) с помощью коэффициентов подобия можно определить соответствующие свойства подобных им объектов на уровне звёзд.

Кроме этого, в силу физические законы не меняют своей формы на разных уровнях материи. Это означает, что кроме подобия объектов и их свойств, существует подобие соответствующих явлений. Благодаря этому на каждом уровне материи можно рассматривать свой собственный принцип неопределённости. Характерной величиной кванта действия и момента импульса на уровне элементарных частиц является величина , то есть . Она непосредственно входит в принцип неопределённости. Для нейтронных звёзд характерной величиной кванта действия является ħ’ s = ħ ∙ Ф’ ∙ S’ ∙ Р’ = 5,5∙10 41 Дж∙с , где Ф’, S’, Р’ – коэффициенты подобия по массе, скоростям процессов и размерам соответственно. Следовательно, если производить измерения местоположения, импульса или других величин у отдельных нейтронных звёзд с помощью звёздных или ещё более массивных объектов, то при их взаимодействии произойдёт обмен импульсом и моментом импульса, с характерным значением звёздного кванта действия порядка ħ’ s . При этом измерение координаты будет влиять на точность измерения импульса и наоборот, приводя к принципу неопределённости.

Из изложенного следует, что сущность принципа неопределённости вытекает из самой процедуры измерений. Так, элементарные частицы не могут быть исследованы иначе, как с помощью самих элементарных частиц или их композитных состояний (в виде ядер, атомов, молекул и т.д.), которые неизбежно влияют на результаты измерений. Взаимодействие частиц друг с другом или с приборами в таком случае приводит к необходимости введения статистических методов в квантовую механику и лишь вероятностных предсказаний результатов любых опытов. Так как процедура измерений стирает часть информации, имеющейся у частиц до измерений, то прямой детерминации событий от каких-либо скрытых параметров, предполагаемой в теории скрытых параметров, не получается. Например, если направить одну частицу на другую в точно заданном направлении, то должно получиться вполне определённое рассеяние частиц друг на друге. Но здесь возникает проблема в том, что вначале нужно ещё каким-то способом направить частицу именно в данном заданном направлении. Как видно, детерминации событий мешает не только процедура измерений, но и процедура установки точных начальных состояний исследуемых частиц.

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера - Рао в классической теории измерений. В случае, когда измеряется положение частицы, среднеквадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера . См. также полная физическая информация .

Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название, сделали его источником нескольких шуток. Говорят, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

Однажды Вернера Гейзенберга останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро Вы ехали, сэр?». На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

Принцип неопределённости в популярной культуре

Принцип неопределённости часто неправильно понимается или описывается в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет. Например, проекции импульса на оси c и y можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен - нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

Принцип неопределенности лежит в плоскости квантовой механики, однако чтобы полноценно разобрать его, обратимся к развитию физики в целом. и Альберт Эйнштейн, пожалуй, в истории человечества. Первый еще в конце XVII века сформулировал законы классической механики, которой подчиняются все тела, окружающие нас, планеты, подвластные инерции и гравитации. Развитие законов классической механики привело научный мир к концу XIX века к мнению о том, что все основные законы природы уже открыты, и человек может объяснить любое явление во Вселенной.

Теория относительности Эйнштейна

Как оказалось, на тот момент была обнаружена лишь верхушка айсберга, дальнейшие изыскания подбросили ученым новые, совершенно невероятные факты. Так, в начале XX века было обнаружено, что распространение света (который имеет конечную скорость в 300 000 км/с) никак не подчиняется законам ньютоновской механики. Согласно формулам Исаака Ньютона, в случае если тело или волна испускается движущимся источником, его скорость будет равна сумме скорости источника и собственной. Однако волновые свойства частиц имели иную природу. Многочисленные опыты с ними продемонстрировали, что в электродинамике, молодой на тот момент науке, работает совершенно другой набор правил. Еще тогда Альберт Эйнштейн совместно с немецким физиком-теоретиком Максом Планком ввели свою знаменитую теорию относительности, описывающую поведение фотонов. Однако для нас сейчас важна не столько ее суть, сколько тот факт, что в этот момент была выявлена принципиальная несовместимость двух областей физики, совместить

которые, кстати, ученые пытаются и по сей день.

Рождение квантовой механики

Окончательно разрушило миф о всеобъемлющей классической механике изучение строения атомов. Опыты в 1911 году продемонстрировали, что атом имеет в своем составе еще более мелкие частицы (названные протонами, нейтронами и электронами). Более того, они также отказывались взаимодействовать по Изучение этих мельчайших частиц и породило новые для ученого мира постулаты квантовой механики. Таким образом, возможно, конечное понимание Вселенной лежит не только и не столько в изучении звезд, а в изучении мельчайших частиц, которые дают интереснейшую картину мира на микроуровне.

Принцип неопределенности Гейзенберга

В 1920-е годы делала свои первые шаги, а ученые лишь

осознавали, что же из нее вытекает для нас. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал свой знаменитый принцип неопределенности, демонстрирующий одно из главных отличий микромира от привычного нам окружения. Состоит он в том, что невозможно измерить одновременно скорость и пространственное положение квантового объекта уже потому, что при измерении мы оказываем на него воздействие, ведь и само измерение тоже осуществляется с помощью квантов. Если совсем банально: оценивая объект в макромире, мы видим отраженный от него свет и на основании этого делаем выводы о нем. Но в уже воздействие световых фотонов (или других производных измерения) оказывает влияние на объект. Таким образом, принцип неопределенности вызвал понятные сложности в изучении и предсказании поведения квантовых частиц. При этом, что интересно, можно измерять отдельно скорость или отдельно положение тела. Но если мы будем измерять одновременно, то чем выше будут наши данные о скорости, тем меньше мы будем знать о действительном положении, и наоборот.

Невозможно одновременно с точностью определить координаты и скорость квантовой частицы.

В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов. Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом. И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.

В первой четверти ХХ века именно такова была реакция физиков, когда они стали исследовать поведение материи на атомном и субатомном уровнях. Появление и бурное развитие квантовой механики открыло перед нами целый мир, системное устройство которого попросту не укладывается в рамки здравого смысла и полностью противоречит нашим интуитивным представлениям. Но нужно помнить, что наша интуиция основана на опыте поведения обычных предметов соизмеримых с нами масштабов, а квантовая механика описывает вещи, которые происходят на микроскопическом и невидимом для нас уровне, — ни один человек никогда напрямую с ними не сталкивался. Если забыть об этом, мы неизбежно придем в состояние полного замешательства и недоумения. Для себя я сформулировал следующий подход к квантово-механическим эффектам: как только «внутренний голос» начинает твердить «такого не может быть!», нужно спросить себя: «А почему бы и нет? Откуда мне знать, как всё на самом деле устроено внутри атома? Разве я сам туда заглядывал?» Настроив себя подобным образом, вам будет проще воспринять статьи этой книги, посвященные квантовой механике.

Принцип Гейзенберга вообще играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального мира. Чтобы понять этот принцип, задумайтесь для начала о том, что значит «измерить» какую бы то ни было величину. Чтобы отыскать, например, эту книгу, вы, войдя в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней. На языке физики это означает, что вы провели визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат — зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате). На самом деле процесс измерения происходит гораздо сложнее: источник света (Солнце или лампа, например) испускает лучи, которые, пройдя некий путь в пространстве, взаимодействуют с книгой, отражаются от ее поверхности, после чего часть из них доходит до ваших глаз, проходя через хрусталик, фокусируется, попадает на сетчатку — и вы видите образ книги и определяете ее положение в пространстве. Ключ к измерению здесь — взаимодействие между светом и книгой. Так и при любом измерении, представьте себе, инструмент измерения (в данном случае, это свет) вступает во взаимодействие с объектом измерения (в данном случае, это книга).

В классической физике, построенной на ньютоновских принципах и применимой к объектам нашего обычного мира, мы привыкли игнорировать тот факт, что инструмент измерения, вступая во взаимодействие с объектом измерения, воздействует на него и изменяет его свойства, включая, собственно, измеряемые величины. Включая свет в комнате, чтобы найти книгу, вы даже не задумываетесь о том, что под воздействием возникшего давления световых лучей книга может сдвинуться со своего места, и вы узнаете ее искаженные под влиянием включенного вами света пространственные координаты. Интуиция подсказывает нам (и, в данном случае, совершенно правильно), что акт измерения не влияет на измеряемые свойства объекта измерения. А теперь задумайтесь о процессах, происходящих на субатомном уровне. Допустим, мне нужно зафиксировать пространственное местонахождение электрона. Мне по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит моим детекторам сигнал с информацией о его местопребывании. И тут же возникает сложность: иных инструментов взаимодействия с электроном для определения его положения в пространстве, кроме других элементарных частиц, у меня нет. И, если предположение о том, что свет, вступая во взаимодействие с книгой, на ее пространственных координатах не сказывается, относительно взаимодействия измеряемого электрона с другим электроном или фотонами такого сказать нельзя.

В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, он постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты микромира, о котором мы только что говорили. В результате им был сформулирован принцип неопределенности , названный теперь его именем:

неопределенность значения координаты x неопределенность скорости > h /m ,

математическое выражение которого называется соотношением неопределенностей Гейзенберга :

Δx х Δv > h /m

где Δx — неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, Δv — неопределенность скорости частицы, m — масса частицы, а h — постоянная Планка , названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x 10 -34 Дж·с, то есть содержит 33 нуля до первой значимой цифры после запятой.

Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете глобальную систему рекогносцировки GPS, чтобы определить местоположение этой книги, система вычислит их с точностью до 2-3 метров. (GPS, Global Positioning System — навигационная система, в которой задействованы 24 искусственных спутника Земли. Если у вас, например, на автомобиле установлен приемник GPS, то, принимая сигналы от этих спутников и сопоставляя время их задержки, система определяет ваши географические координаты на Земле с точностью до угловой секунды.) Однако, с точки зрения измерения, проведенного инструментом GPS, книга может с некоторой вероятностью находиться где угодно в пределах указанных системой нескольких квадратных метров. В таком случае мы и говорим о неопределенности пространственных координат объекта (в данном примере, книги). Ситуацию можно улучшить, если взять вместо GPS рулетку — в этом случае мы сможем утверждать, что книга находится, например, в 4 м 11 см от одной стены и в 1м 44 см от другой. Но и здесь мы ограничены в точности измерения минимальным делением шкалы рулетки (пусть это будет даже миллиметр) и погрешностями измерения и самого прибора, — и в самом лучшем случае нам удастся определить пространственное положение объекта с точностью до минимального деления шкалы. Чем более точный прибор мы будем использовать, тем точнее будут полученные нами результаты, тем ниже будет погрешность измерения и тем меньше будет неопределенность. В принципе, в нашем обыденном мире свести неопределенность к нулю и определить точные координаты книги можно.

И тут мы подходим к самому принципиальному отличию микромира от нашего повседневного физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически не воздействуем. Таким образом, в идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью).

В мире квантовых явлений, однако, любое измерение воздействует на систему. Сам факт проведения нами измерения, например, местоположения частицы, приводит к изменению ее скорости, причем непредсказуемому (и наоборот). Вот почему в правой части соотношения Гейзенберга стоит не нулевая, а положительная величина. Чем меньше неопределенность в отношении одной переменной (например, Δx ), тем более неопределенной становится другая переменная (Δv ), поскольку произведение двух погрешностей в левой части соотношения не может быть меньше константы в правой его части. На самом деле, если нам удастся с нулевой погрешностью (абсолютно точно) определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности, и о ней мы не будем знать вообще ничего. Иными словами, если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится. На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц.

На самом деле, принцип неопределенности связывает не только пространственные координаты и скорость — на этом примере он просто проявляется нагляднее всего; в равной мере неопределенность связывает и другие пары взаимно увязанных характеристик микрочастиц. Путем аналогичных рассуждений мы приходим к выводу о невозможности безошибочно измерить энергию квантовой системы и определить момент времени, в который она обладает этой энергией. То есть, если мы проводим измерение состояния квантовой системы на предмет определения ее энергии, это измерение займет некоторый отрезок времени — назовем его Δt . За этот промежуток времени энергия системы случайным образом меняется — происходят ее флуктуация , — и выявить ее мы не можем. Обозначим погрешность измерения энергии ΔЕ. Путем рассуждений, аналогичных вышеприведенным, мы придем к аналогичному соотношению для ΔЕ и неопределенности времени, которым квантовая частица этой энергией обладала:

ΔЕ Δt > h

Относительно принципа неопределенности нужно сделать еще два важных замечания:

он не подразумевает, что какую-либо одну из двух характеристик частицы — пространственное местоположение или скорость — нельзя измерить сколь угодно точно;

принцип неопределенности действует объективно и не зависит от присутствия разумного субъекта, проводящего измерения.

Иногда вам могут встретиться утверждения, будто принцип неопределенности подразумевает, что у квантовых частиц отсутствуют определенные пространственные координаты и скорости, или что эти величины абсолютно непознаваемы. Не верьте: как мы только что видели, принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из этих величин. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. И, как и во многом другом, мы вынуждены идти на компромисс. Опять же, писатели-антропософы из числа сторонников концепции «Новой эры» иногда утверждают, что, якобы, поскольку измерения подразумевают присутствие разумного наблюдателя, то, значит, на некоем фундаментальном уровне человеческое сознание связано с Вселенским разумом, и именно эта связь обусловливает принцип неопределенности. Повторим по этому поводу еще раз: ключевым в соотношении Гейзенберга является взаимодействие между частицей-объектом измерения и инструментом измерения, влияющим на его результаты. А тот факт, что при этом присутствует разумный наблюдатель в лице ученого, отношения к делу не имеет; инструмент измерения в любом случае влияет на его результаты, присутствует при этом разумное существо или нет.

См. также:

Werner Karl Heisenberg, 1901-76

Немецкий физик-теоретик. Родился в Вюрцбурге. Его отец был профессором византологии Мюнхенского университета. Помимо блестящих математических способностей с детства проявлял склонность к музыке и вполне состоялся как пианист. Еще школьником был членом народной милиции, поддерживавшей порядок в Мюнхене в смутное время, наступившее после поражения Германии в I мировой войне. В 1920 году стал студентом кафедры математики Мюнхенского университета, однако, столкнувшись с отказом в посещении интересующего его семинара по актуальным в те годы вопросам высшей математики, добился перевода на кафедру теоретической физики. В те годы весь мир физиков жил под впечатлением нового взгляда на строение атома (см. Атом Бора), и все теоретики из их числа понимали, что внутри атома происходит нечто странное.

Защитив диплом в 1923 году, Гейзенберг приступил к работе в Гёттингене над проблемами строения атома. В мае 1925 года у него случился острый приступ сенной лихорадки, вынудивший молодого ученого провести несколько месяцев в полном уединении на маленьком, отрезанном от внешнего мира острове Гельголанд, и этой вынужденной изоляцией от внешнего мира он воспользовался столь же продуктивно, как Исаак Ньютон многомесячным заключением в карантинном чумном бараке в далеком 1665 году. В частности, за эти месяцы ученым была разработана теория матричной механики — новый математический аппарат зарождающейся квантовой механики . Матричная механика, как показало время, в математическом понимании эквивалентна появившейся год спустя квантово-волновой механике, заложенной в уравнении Шрёдингера , с точки зрения описания процессов квантового мира. Однако на практике использовать аппарат матричной механики оказалось труднее, и сегодня физики-теоретики, в основном, пользуются представлениями волновой механики.

В 1926 году Гейзенберг стал ассистентом Нильса Бора в Копенгагене. Именно там в 1927 году он и сформулировал свой принцип неопределенности — и можно с основанием утверждать, что это стало его самым большим вкладом в развитие науки. В том же году Гейзенберг стал профессором Лейпцигского университета — самым молодым профессором в истории Германии. Начиная с этого момента, он вплотную занялся созданием единой теории поля (см. Универсальные теории) — по большому счету, безуспешно. За ведущую роль в разработке квантово-механической теории в 1932 году Гейзенберг был удостоен Нобелевской премии по физике за создание квантовой механики.

С исторической же точки зрения личность Вернера Гейзенберга, вероятно, навсегда останется синонимом неопределенности несколько иного рода. С приходом к власти партии национал-социалистов в его биографии открылась самая труднопонимаемая страница. Во-первых, будучи физиком-теоретиком, он оказался вовлеченным в идеологическую борьбу, в которой теоретическая физика, как таковая, получила ярлык «жидовской физики», а сам Гейзенберг был публично назван новыми властями «белым евреем». Лишь после ряда личных обращений к самым высокопоставленным лицам в рядах нацистского руководства ученому удалось остановить кампанию публичной травли в свой адрес. Гораздо проблематичнее выглядит роль Гейзенберга в германской программе разработки ядерного оружия в годы второй мировой войны. В то время, когда большинство его коллег эмигрировали или вынуждены были бежать из Германии под давлением гитлеровского режима, Гейзенберг возглавил германскую национальную ядерную программу.

Под его руководством программа всецело сконцентрировалась на постройке ядерного реактора, однако у Нильса Бора при его знаменитой встрече с Гейзенбергом в 1941 году сложилось впечатление, что это лишь прикрытие, а на самом деле в рамках этой программы разрабатывается ядерное оружие. Так что же произошло на самом деле? Действительно ли Гейзенберг умышленно и по велению совести завел германскую программу разработки атомной бомбы в тупик и направил ее на мирные рельсы, как он впоследствии утверждал? Или просто он допустил какие-то просчеты в своем понимании процессов ядерного распада? Как бы то ни было, Германия атомного оружия создать не успела. Как показывает блестящая пьеса Майкла Фрэйна (Michael Frayn) «Копенгаген», эта историческая загадка, вероятно, даст достаточно материалов еще не для одного поколения беллетристов.

После войны Гейзенберг выступил активным сторонником дальнейшего развития западногерманской науки и ее воссоединения с международным научным сообществом. Его влияние послужило важным инструментом, позволившим добиться безъядерного статуса вооруженных сил Западной Германии в послевоенный период.